# 第 32781 題：有限雙射的反函數表 [返回所在分頁 164](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/164/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r04-inverse-function-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r04-inverse-function-0006) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32781 · q-20261004-advance-20261005-r04-inverse-function-0006 ## 原題與已知條件 明示總函數 f:A→B，A={-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1}、B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}，函數表為 {(-7, 13), (-6, 1), (-5, 3), (-4, 5), (-3, 7), (-2, 9), (-1, 11)}，且 f 已確認為雙射。求反函數 g:B→A 的完整有序對集合。 - G001 — 明示總函數 f:A→B，A={-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1}、B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}，函數表為 {(-7, 13), (-6, 1), (-5, 3), (-4, 5), (-3, 7), (-2, 9), (-1, 11)}，且 f 已確認為雙射。求反函數 g:B→A 的完整有序對集合。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-inverse-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inverse-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-inverse-function-table, inverse_table, no-required-domain, []] 操作後 derived = [[complete_inverse_pairset_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f domain, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1]] 操作後 derived = [[-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1]] 條件：無 raw集合distinct、SAFE且≤100；排序只是衍生工作表，原list及來源雜湊不變。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW_distinct_SAFE_set_bound100 · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f codomain, [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 條件：無 raw集合distinct、SAFE且≤100；排序只是衍生工作表，原list及來源雜湊不變。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW_distinct_SAFE_set_bound100 · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 條件：無 先驗全部raw row長度2、SAFE且raw≤200，再把相同row視為同一有序對；不是把不同output的同input合併。空domain也不略過raw檢查。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_RAW200_bound_BEFORE_identical_row_ASSET_normalization · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 0, -7, 13, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 1, -6, 1, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 2, -5, 3, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 3, -4, 5, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 4, -3, 7, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 5, -2, 9, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 6, -1, 11, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 每row輸入在domain、輸出在codomain；orphan或unused row也要完整驗。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_normalized_row_declared_domain_codomain_types · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -7, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -6, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -5, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -4, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -3, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -2, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, -1, [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 每個declared input恰一個row才是total，不用第一個lookup掩蓋缺漏或多output。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EACH_declared_input_exactly_one_output_row · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], 是] 條件：無 所有row型別與所有input總性合取後才准lookup；空集合的vacuous條件不准遮掉非法row。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_TOTAL_qualification_BEFORE_lookups_even_empty_domain · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 1, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-6], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 3, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-5], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 5, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-4], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 7, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-3], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 9, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-2], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 11, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-1], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, 13, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[-7], 1] 條件：無 對每個codomain標記列完整preimage，包含空fiber，不把未達到的B刪掉。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_EVERY_codomain_fiber_including_unattained · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [ORIGINAL f, [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13], [[-6], [-5], [-4], [-3], [-2], [-1], [-7]]] 操作後 derived = [是, 是, 是] 條件：無 單射為每fiber≤1，滿射為每fiber≥1，兩者才雙射；未達到B不妨礙單射。空到空可雙射，空到非空只是單射。 步驟識別與依賴規則：FiniteMap_injective_surjective_BOTH_needed_for_inverse · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [[-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13], [[-7, 13], [-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11]]] 操作後 derived = [[[1, -6], [3, -5], [5, -4], [7, -3], [9, -2], [11, -1], [13, -7]], {(1, -6), (3, -5), (5, -4), (7, -3), (9, -2), (11, -1), (13, -7)}] 條件：無 原map先證雙射，才把每row(x,y)換成(y,x)，依數值LEX列完整B→A反表；空雙射反表∅，不是任意converse都可當反函數。 步驟識別與依賴規則：Inverse_TABLE_actual_bijection_complete_swapped_numeric_LEX_pairs · 依賴：G001, S027 ## 逐步反向核對 - S028 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S027 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S026 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S023 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 {(1, -6), (3, -5), (5, -4), (7, -3), (9, -2), (11, -1), (13, -7)} 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e897b12961c09f15a3a17ae357afa20b41c9dcc5325a656c9355d36758929f3b - candidate record SHA-256: 8caa1805efb2caee9f9497938fc09c5a7265904bc438399675cdf203718a5677 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r04-inverse-function-0006.json)