# 第 31648 題：仿射變換的有限期望 [返回所在分頁 159](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/159/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r06-expectation-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0048) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31648 · q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0048 ## 原題與已知條件 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。令 Z=3X+(17)，求精確 E[Z]。 - G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。令 Z=3X+(17)，求精確 E[Z]。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-expectation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-expectation-affine, no-domain-field, affine_expectation, no-form-field] 操作後 derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 24) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 25 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(25, 5) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 30 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(30, 0) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 30 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 24, 5, 0], 30, [12, 12, 36, 1021], not-supplied] 操作後 derived = [[0, 1, 2, 3], 30, 是] 條件：無 S非空、distinct且≤100，權重與X／Y依原S位置對齊。F必為powerset(S)，權重非負、den正、總和恰den；即使a0或零權重，也先驗全部raw欄位，不默改成uniform模型。 步驟識別與依賴規則：Expectation_FULL_model_RAW_slots_SAME_alignment_and_normalized_law · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot0 a times X := mul(3, 12) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot0 a times X = 36 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot0 plus b := sum(36, 17) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot0 plus b = 53 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [0, 0, affine_expectation, 12, not-supplied, 3, 17, not-supplied] 操作後 derived = [53] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, 53) 操作後 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = 53 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, 53) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = 53 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot1 a times X := mul(3, 12) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot1 a times X = 36 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot1 plus b := sum(36, 17) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot1 plus b = 53 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [1, 1, affine_expectation, 12, not-supplied, 3, 17, not-supplied] 操作後 derived = [53] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(24, 53) 操作後 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = 1272 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(53, 1272) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = 1325 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot2 a times X := mul(3, 36) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot2 a times X = 108 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot2 plus b := sum(108, 17) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot2 plus b = 125 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [2, 2, affine_expectation, 36, not-supplied, 3, 17, not-supplied] 操作後 derived = [125] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(5, 125) 操作後 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = 625 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(1325, 625) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = 1950 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot3 a times X := mul(3, 1021) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot3 a times X = 3063 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Expectation affine ORIGINAL slot3 plus b := sum(3063, 17) 操作後 Expectation affine ORIGINAL slot3 plus b = 3080 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [3, 3, affine_expectation, 1021, not-supplied, 3, 17, not-supplied] 操作後 derived = [3080] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 3080) 操作後 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(1950, 0) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = 1950 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(1950, 30) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = 65 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 24, 5, 0], 30, affine_expectation, [53, 53, 125, 3080]] 操作後 derived = [[53, 1272, 625, 0], 1950, 65/1] 條件：無 依已合格同一概率law，E[Z]=Σw_i Z(s_i)/q。仿射為aE[X]+b、同模型相加為E[X]+E[Y]而不要求獨立，不能推成乘積期望公式。常數c的期望是c因權重總和1；負值或未被取到的期望合法，fraction保/1。 步驟識別與依賴規則：Expectation_LINEARITY_qualified_SAME_law_NOT_independence_or_sample_mean · 依賴：G001, S027 ## 逐步反向核對 - S028 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot3 plus b，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot3 a times X，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot2 plus b，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot2 a times X，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot1 plus b，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot1 a times X，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot0 plus b，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation affine ORIGINAL slot0 a times X，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 65/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6dd005d83f89c65b54039d28c147e9f88c37acd49de214e79be6068f6157a184 - candidate record SHA-256: c5e79bedc15a1678f2facad08e8404abf19f0496239bd79dfc622be1754d02f9 - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0048.json)