# 第 31689 題：共用模型兩變數和的期望 [返回所在分頁 159](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/159/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r06-expectation-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0064) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31689 · q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0064 ## 原題與已知條件 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -19), (1, -19), (2, -4), (3, 1012)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/20, 15/20, 4/20, 0/20]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, -35), (1, -35), (2, -5), (3, 2027)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。 - G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -19), (1, -19), (2, -4), (3, 1012)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/20, 15/20, 4/20, 0/20]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, -35), (1, -35), (2, -5), (3, 2027)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-expectation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-expectation-same-model-sum, no-domain-field, sum_expectation, no-form-field] 操作後 derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 15) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 16 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(16, 4) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 20 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(20, 0) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 20 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 15, 4, 0], 20, [-19, -19, -4, 1012], [-35, -35, -5, 2027]] 操作後 derived = [[0, 1, 2, 3], 20, 是] 條件：無 S非空、distinct且≤100，權重與X／Y依原S位置對齊。F必為powerset(S)，權重非負、den正、總和恰den；即使a0或零權重，也先驗全部raw欄位，不默改成uniform模型。 步驟識別與依賴規則：Expectation_FULL_model_RAW_slots_SAME_alignment_and_normalized_law · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y := sum(-19, -35) 操作後 Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y = -54 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [0, 0, sum_expectation, -19, -35, not-supplied, not-supplied, not-supplied] 操作後 derived = [-54] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, -54) 操作後 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = -54 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, -54) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = -54 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y := sum(-19, -35) 操作後 Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y = -54 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [1, 1, sum_expectation, -19, -35, not-supplied, not-supplied, not-supplied] 操作後 derived = [-54] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(15, -54) 操作後 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = -810 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(-54, -810) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = -864 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y := sum(-4, -5) 操作後 Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y = -9 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [2, 2, sum_expectation, -4, -5, not-supplied, not-supplied, not-supplied] 操作後 derived = [-9] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(4, -9) 操作後 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = -36 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(-864, -36) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = -900 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y := sum(1012, 2027) 操作後 Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y = 3039 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [3, 3, sum_expectation, 1012, 2027, not-supplied, not-supplied, not-supplied] 操作後 derived = [3039] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 3039) 操作後 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(-900, 0) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = -900 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(-900, 20) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = -45 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 15, 4, 0], 20, sum_expectation, [-54, -54, -9, 3039]] 操作後 derived = [[-54, -810, -36, 0], -900, -45/1] 條件：無 依已合格同一概率law，E[Z]=Σw_i Z(s_i)/q。仿射為aE[X]+b、同模型相加為E[X]+E[Y]而不要求獨立，不能推成乘積期望公式。常數c的期望是c因權重總和1；負值或未被取到的期望合法，fraction保/1。 步驟識別與依賴規則：Expectation_LINEARITY_qualified_SAME_law_NOT_independence_or_sample_mean · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 -45/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 862853998c818e750a368e4d8c29e44c00e650b3c74ee40aedda010e082bee0b - candidate record SHA-256: 1697ff48ffbe1c466becf34f3f06916c75c17da13ca620a98df262c72033a0b5 - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0064.json)