# 第 31664 題：歸一化模型中常數的期望 [返回所在分頁 159](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/159/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r06-expectation-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0089) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31664 · q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0089 ## 原題與已知條件 非空有限 S={0, 1}、事件族 F=𝒫(S)，各結果依列序 [0, 1] 的非負機率權重為 [1/4, 3/4]，權重總和恰為一。令 X(s)=1 對每個 s∈S 成立，求精確 E[X]。 - G001 — 非空有限 S={0, 1}、事件族 F=𝒫(S)，各結果依列序 [0, 1] 的非負機率權重為 [1/4, 3/4]，權重總和恰為一。令 X(s)=1 對每個 s∈S 成立，求精確 E[X]。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-expectation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-expectation-constant, no-domain-field, constant_expectation, no-form-field] 操作後 derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 3) 操作後 Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 4 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [[0, 1], powerset(S), [1, 3], 4, not-supplied, not-supplied] 操作後 derived = [[0, 1], 4, 是] 條件：無 S非空、distinct且≤100，權重與X／Y依原S位置對齊。F必為powerset(S)，權重非負、den正、總和恰den；即使a0或零權重，也先驗全部raw欄位，不默改成uniform模型。 步驟識別與依賴規則：Expectation_FULL_model_RAW_slots_SAME_alignment_and_normalized_law · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [0, 0, constant_expectation, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied, 1] 操作後 derived = [1] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, 1) 操作後 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, 1) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [1, 1, constant_expectation, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied, 1] 操作後 derived = [1] 條件：無 每個原outcome先作本題變換，再用同位置權重；不能各自排序S／X／Y／weights。零權重的取值仍是原資料，不以刪除它們修題或推導range。 步驟識別與依賴規則：Expectation_EACH_original_outcome_transformation_BEFORE_weight · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(3, 1) 操作後 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = 3 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(1, 3) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = 4 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(4, 4) 操作後 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [[0, 1], [1, 3], 4, constant_expectation, [1, 1]] 操作後 derived = [[1, 3], 4, 1/1] 條件：無 依已合格同一概率law，E[Z]=Σw_i Z(s_i)/q。仿射為aE[X]+b、同模型相加為E[X]+E[Y]而不要求獨立，不能推成乘積期望公式。常數c的期望是c因權重總和1；負值或未被取到的期望合法，fraction保/1。 步驟識別與依賴規則：Expectation_LINEARITY_qualified_SAME_law_NOT_independence_or_sample_mean · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 1/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: de12330a38f41aecee5064f171ac25ce11ac3af825565d9de7902eca8a1d7ea7 - candidate record SHA-256: a8b81403bb90a449e136776f91edaafe1abe88d57676db778f772f1a034d0246 - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r06-expectation-0089.json)