# 第 35872 題：精確有限機率變異數 [返回所在分頁 180](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/180/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r07-variance-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0022) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0070-35872 · q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0022 ## 原題與已知條件 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -27), (1, -27), (2, -4), (3, 1020)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/28, 23/28, 4/28, 0/28]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。 - G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -27), (1, -27), (2, -4), (3, 1020)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/28, 23/28, 4/28, 0/28]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-variance-weighted, [F, S, denominator, operation, values, weights]] 操作後 derived = [variance, variance, null] 條件：無 只使用此bank真正明示的欄位、operation/domain與型別；BASE容許保留額外metadata，不把LDL SAFE/集合上限或其他bank的去重規則搬來。 步驟識別與依賴規則：R70_SOURCE_bank_specific_interface · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 23, 4, 0) 操作後 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 28 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-27, -27, -4, 1020], [1, 23, 4, 0], 28, null, null] 操作後 derived = [是] 條件：無 全raw值/權重即使零權重也先驗SAFE，S不重複且非空，F為完整powerset，權重非負和=q>0。值與權重沿原S槽位對齊，不獨立排序；c/k也先驗raw SAFE。 步驟識別與依賴規則：Variance_WHOLE_normalized_model_ORIGINAL_slot_alignment · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, -27) 操作後 Variance weight times transformed value i=0 = -27 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [0, 0, -27, 1, null, null] 操作後 derived = [-27, 1/28] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=1 := mul(23, -27) 操作後 Variance weight times transformed value i=1 = -621 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [1, 1, -27, 23, null, null] 操作後 derived = [-27, 23/28] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=2 := mul(4, -4) 操作後 Variance weight times transformed value i=2 = -16 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [2, 2, -4, 4, null, null] 操作後 derived = [-4, 1/7] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 1020) 操作後 Variance weight times transformed value i=3 = 0 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [3, 3, 1020, 0, null, null] 操作後 derived = [1020, 0] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Variance mean numerator sum wY := sum(-27, -621, -16, 0) 操作後 Variance mean numerator sum wY = -664 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Variance exact expectation M over q := div(-664, 28) 操作後 Variance exact expectation M over q = -166/7 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Variance i=0 Y times q := mul(-27, 28) 操作後 Variance i=0 Y times q = -756 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Variance i=0 centered integer numerator := sub(-756, -664) 操作後 Variance i=0 centered integer numerator = -92 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Variance i=0 centered numerator squared := mul(-92, -92) 操作後 Variance i=0 centered numerator squared = 8464 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 8464) 操作後 Variance i=0 weight times squared numerator = 8464 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Variance i=1 Y times q := mul(-27, 28) 操作後 Variance i=1 Y times q = -756 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Variance i=1 centered integer numerator := sub(-756, -664) 操作後 Variance i=1 centered integer numerator = -92 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Variance i=1 centered numerator squared := mul(-92, -92) 操作後 Variance i=1 centered numerator squared = 8464 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Variance i=1 weight times squared numerator := mul(23, 8464) 操作後 Variance i=1 weight times squared numerator = 194672 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Variance i=2 Y times q := mul(-4, 28) 操作後 Variance i=2 Y times q = -112 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Variance i=2 centered integer numerator := sub(-112, -664) 操作後 Variance i=2 centered integer numerator = 552 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Variance i=2 centered numerator squared := mul(552, 552) 操作後 Variance i=2 centered numerator squared = 304704 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Variance i=2 weight times squared numerator := mul(4, 304704) 操作後 Variance i=2 weight times squared numerator = 1218816 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Variance i=3 Y times q := mul(1020, 28) 操作後 Variance i=3 Y times q = 28560 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Variance i=3 centered integer numerator := sub(28560, -664) 操作後 Variance i=3 centered integer numerator = 29224 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Variance i=3 centered numerator squared := mul(29224, 29224) 操作後 Variance i=3 centered numerator squared = 854042176 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 854042176) 操作後 Variance i=3 weight times squared numerator = 0 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(8464, 194672, 1218816, 0) 操作後 Variance sum ALL weighted squared numerators = 1421952 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Variance denominator q squared := mul(28, 28) 操作後 Variance denominator q squared = 784 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Variance denominator q cubed binary second factor := mul(784, 28) 操作後 Variance denominator q cubed binary second factor = 21952 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Variance probability population centered sum over q cubed := div(1421952, 21952) 操作後 Variance probability population centered sum over q cubed = 3174/49 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [[-27, -27, -4, 1020], [1, 23, 4, 0], 28, -166/7, 1421952, 21952] 操作後 derived = [3174/49, [-27, -4], 否] 條件：無 E[Y]=M/q，Var=Σ(w/q)(Y−M/q)²=C/q³，每項非負；總和0恰每個正權重槽Y等於平均，也就是正權重support常值。零權重可異值，非n−1樣本變異數。 步驟識別與依賴規則：Variance_CENTERED_definition_and_positive_support_zero_equivalence · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 source roles = [variance, null, null] 操作後 derived = [3174/49] 條件：無 平移時平均也加c，中心差不變；縮放時平均乘k，中心差乘k故變異數乘k²（k負或0皆可）。此處已以實際Y全量重算，不用定律遮掉未驗c/k。 步驟識別與依賴規則：Variance_SHIFT_SCALE_law_with_conditions · 依賴：G001, S034 ## 逐步反向核對 - S035 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S034 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 ## 結論 3174/49 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 39db17bddd27454d20f65ad795db3f94a12433168a612e9b5e97de75d3640ba6 - candidate record SHA-256: dd92a5959c0b0d9f77af71fc11e0c0608fdbfde2349cd4900d0192e8d75c3e2b - semantic review receipt SHA-256: 9820ac6529139bd53d516c8bfdfdd41184b0cd52dad69fa433344010db37af80 - question-first witness SHA-256: c9c939762bbd4d3ea3403084c8e95541dc2c7e56eb82fc74eaba8c80a4517dab - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0022.json)