# 第 35815 題：縮放後的機率變異數 [返回所在分頁 180](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/180/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r07-variance-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0065) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0070-35815 · q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0065 ## 原題與已知條件 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 4), (1, 4), (2, 20), (3, 1013)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/22, 16/22, 5/22, 0/22]，權重總和恰為一。令 Z=5X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。 - G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 4), (1, 4), (2, 20), (3, 1013)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/22, 16/22, 5/22, 0/22]，權重總和恰為一。令 Z=5X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]] 操作後 derived = [variance, scale_variance, null] 條件：無 只使用此bank真正明示的欄位、operation/domain與型別；BASE容許保留額外metadata，不把LDL SAFE/集合上限或其他bank的去重規則搬來。 步驟識別與依賴規則：R70_SOURCE_bank_specific_interface · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 16, 5, 0) 操作後 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 22 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [4, 4, 20, 1013], [1, 16, 5, 0], 22, 5, null] 操作後 derived = [是] 條件：無 全raw值/權重即使零權重也先驗SAFE，S不重複且非空，F為完整powerset，權重非負和=q>0。值與權重沿原S槽位對齊，不獨立排序；c/k也先驗raw SAFE。 步驟識別與依賴規則：Variance_WHOLE_normalized_model_ORIGINAL_slot_alignment · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(5, 4) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=0 = 20 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 20) 操作後 Variance weight times transformed value i=0 = 20 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [0, 0, 4, 1, 5, null] 操作後 derived = [20, 1/22] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(5, 4) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=1 = 20 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=1 := mul(16, 20) 操作後 Variance weight times transformed value i=1 = 320 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [1, 1, 4, 16, 5, null] 操作後 derived = [20, 8/11] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(5, 20) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 100 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=2 := mul(5, 100) 操作後 Variance weight times transformed value i=2 = 500 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [2, 2, 20, 5, 5, null] 操作後 derived = [100, 5/22] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(5, 1013) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=3 = 5065 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 5065) 操作後 Variance weight times transformed value i=3 = 0 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [3, 3, 1013, 0, 5, null] 操作後 derived = [5065, 0] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Variance mean numerator sum wY := sum(20, 320, 500, 0) 操作後 Variance mean numerator sum wY = 840 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Variance exact expectation M over q := div(840, 22) 操作後 Variance exact expectation M over q = 420/11 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Variance i=0 Y times q := mul(20, 22) 操作後 Variance i=0 Y times q = 440 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Variance i=0 centered integer numerator := sub(440, 840) 操作後 Variance i=0 centered integer numerator = -400 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Variance i=0 centered numerator squared := mul(-400, -400) 操作後 Variance i=0 centered numerator squared = 160000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 160000) 操作後 Variance i=0 weight times squared numerator = 160000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Variance i=1 Y times q := mul(20, 22) 操作後 Variance i=1 Y times q = 440 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Variance i=1 centered integer numerator := sub(440, 840) 操作後 Variance i=1 centered integer numerator = -400 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Variance i=1 centered numerator squared := mul(-400, -400) 操作後 Variance i=1 centered numerator squared = 160000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Variance i=1 weight times squared numerator := mul(16, 160000) 操作後 Variance i=1 weight times squared numerator = 2560000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Variance i=2 Y times q := mul(100, 22) 操作後 Variance i=2 Y times q = 2200 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Variance i=2 centered integer numerator := sub(2200, 840) 操作後 Variance i=2 centered integer numerator = 1360 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Variance i=2 centered numerator squared := mul(1360, 1360) 操作後 Variance i=2 centered numerator squared = 1849600 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Variance i=2 weight times squared numerator := mul(5, 1849600) 操作後 Variance i=2 weight times squared numerator = 9248000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Variance i=3 Y times q := mul(5065, 22) 操作後 Variance i=3 Y times q = 111430 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Variance i=3 centered integer numerator := sub(111430, 840) 操作後 Variance i=3 centered integer numerator = 110590 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Variance i=3 centered numerator squared := mul(110590, 110590) 操作後 Variance i=3 centered numerator squared = 12230148100 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 12230148100) 操作後 Variance i=3 weight times squared numerator = 0 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(160000, 2560000, 9248000, 0) 操作後 Variance sum ALL weighted squared numerators = 11968000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Variance denominator q squared := mul(22, 22) 操作後 Variance denominator q squared = 484 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Variance denominator q cubed binary second factor := mul(484, 22) 操作後 Variance denominator q cubed binary second factor = 10648 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Variance probability population centered sum over q cubed := div(11968000, 10648) 操作後 Variance probability population centered sum over q cubed = 136000/121 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 source roles = [[20, 20, 100, 5065], [1, 16, 5, 0], 22, 420/11, 11968000, 10648] 操作後 derived = [136000/121, [20, 100], 否] 條件：無 E[Y]=M/q，Var=Σ(w/q)(Y−M/q)²=C/q³，每項非負；總和0恰每個正權重槽Y等於平均，也就是正權重support常值。零權重可異值，非n−1樣本變異數。 步驟識別與依賴規則：Variance_CENTERED_definition_and_positive_support_zero_equivalence · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 source roles = [scale_variance, 5, null] 操作後 derived = [136000/121] 條件：無 平移時平均也加c，中心差不變；縮放時平均乘k，中心差乘k故變異數乘k²（k負或0皆可）。此處已以實際Y全量重算，不用定律遮掉未驗c/k。 步驟識別與依賴規則：Variance_SHIFT_SCALE_law_with_conditions · 依賴：G001, S038 ## 逐步反向核對 - S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 ## 結論 136000/121 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 78be1c4362390485316d4745c31352075fef92235d5746bcac743b3b176ede3c - candidate record SHA-256: 82a5f3958615550589ac9f734326b3cea0568aff69b4d16ecc141a739303fa04 - semantic review receipt SHA-256: 9820ac6529139bd53d516c8bfdfdd41184b0cd52dad69fa433344010db37af80 - question-first witness SHA-256: c9c939762bbd4d3ea3403084c8e95541dc2c7e56eb82fc74eaba8c80a4517dab - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0065.json)