# 第 35823 題：縮放後的機率變異數 [返回所在分頁 180](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/180/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261004-advance-20261005-r07-variance-foundations/#q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0073) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0070-35823 · q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0073 ## 原題與已知條件 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。令 Z=3X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。 - G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。令 Z=3X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]] 操作後 derived = [variance, scale_variance, null] 條件：無 只使用此bank真正明示的欄位、operation/domain與型別；BASE容許保留額外metadata，不把LDL SAFE/集合上限或其他bank的去重規則搬來。 步驟識別與依賴規則：R70_SOURCE_bank_specific_interface · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 24, 5, 0) 操作後 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 30 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [12, 12, 36, 1021], [1, 24, 5, 0], 30, 3, null] 操作後 derived = [是] 條件：無 全raw值/權重即使零權重也先驗SAFE，S不重複且非空，F為完整powerset，權重非負和=q>0。值與權重沿原S槽位對齊，不獨立排序；c/k也先驗raw SAFE。 步驟識別與依賴規則：Variance_WHOLE_normalized_model_ORIGINAL_slot_alignment · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(3, 12) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=0 = 36 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 36) 操作後 Variance weight times transformed value i=0 = 36 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [0, 0, 12, 1, 3, null] 操作後 derived = [36, 1/30] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(3, 12) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=1 = 36 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=1 := mul(24, 36) 操作後 Variance weight times transformed value i=1 = 864 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [1, 1, 12, 24, 3, null] 操作後 derived = [36, 4/5] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(3, 36) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 108 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=2 := mul(5, 108) 操作後 Variance weight times transformed value i=2 = 540 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [2, 2, 36, 5, 3, null] 操作後 derived = [108, 1/6] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(3, 1021) 操作後 Variance transformed ORIGINAL value i=3 = 3063 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 3063) 操作後 Variance weight times transformed value i=3 = 0 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [3, 3, 1021, 0, 3, null] 操作後 derived = [3063, 0] 條件：無 逐原槽做Y=X、X+c或kX，權重機率仍w/q；衍生值可超SAFE，不能重當raw輸入截斷。零權重槽仍保持來源但不貢獻。 步驟識別與依賴規則：Variance_EACH_slot_transformation_preserves_probability · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Variance mean numerator sum wY := sum(36, 864, 540, 0) 操作後 Variance mean numerator sum wY = 1440 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Variance exact expectation M over q := div(1440, 30) 操作後 Variance exact expectation M over q = 48 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Variance i=0 Y times q := mul(36, 30) 操作後 Variance i=0 Y times q = 1080 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Variance i=0 centered integer numerator := sub(1080, 1440) 操作後 Variance i=0 centered integer numerator = -360 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Variance i=0 centered numerator squared := mul(-360, -360) 操作後 Variance i=0 centered numerator squared = 129600 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 129600) 操作後 Variance i=0 weight times squared numerator = 129600 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Variance i=1 Y times q := mul(36, 30) 操作後 Variance i=1 Y times q = 1080 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Variance i=1 centered integer numerator := sub(1080, 1440) 操作後 Variance i=1 centered integer numerator = -360 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Variance i=1 centered numerator squared := mul(-360, -360) 操作後 Variance i=1 centered numerator squared = 129600 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Variance i=1 weight times squared numerator := mul(24, 129600) 操作後 Variance i=1 weight times squared numerator = 3110400 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Variance i=2 Y times q := mul(108, 30) 操作後 Variance i=2 Y times q = 3240 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Variance i=2 centered integer numerator := sub(3240, 1440) 操作後 Variance i=2 centered integer numerator = 1800 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Variance i=2 centered numerator squared := mul(1800, 1800) 操作後 Variance i=2 centered numerator squared = 3240000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Variance i=2 weight times squared numerator := mul(5, 3240000) 操作後 Variance i=2 weight times squared numerator = 16200000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Variance i=3 Y times q := mul(3063, 30) 操作後 Variance i=3 Y times q = 91890 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Variance i=3 centered integer numerator := sub(91890, 1440) 操作後 Variance i=3 centered integer numerator = 90450 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Variance i=3 centered numerator squared := mul(90450, 90450) 操作後 Variance i=3 centered numerator squared = 8181202500 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 8181202500) 操作後 Variance i=3 weight times squared numerator = 0 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(129600, 3110400, 16200000, 0) 操作後 Variance sum ALL weighted squared numerators = 19440000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Variance denominator q squared := mul(30, 30) 操作後 Variance denominator q squared = 900 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Variance denominator q cubed binary second factor := mul(900, 30) 操作後 Variance denominator q cubed binary second factor = 27000 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Variance probability population centered sum over q cubed := div(19440000, 27000) 操作後 Variance probability population centered sum over q cubed = 720 條件：無 本步精確列出原操作數與運算；乘、減、除恰兩項。分數保持精確，衍生BigInt不重套raw SAFE，不用近似值湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 source roles = [[36, 36, 108, 3063], [1, 24, 5, 0], 30, 48, 19440000, 27000] 操作後 derived = [720, [36, 108], 否] 條件：無 E[Y]=M/q，Var=Σ(w/q)(Y−M/q)²=C/q³，每項非負；總和0恰每個正權重槽Y等於平均，也就是正權重support常值。零權重可異值，非n−1樣本變異數。 步驟識別與依賴規則：Variance_CENTERED_definition_and_positive_support_zero_equivalence · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 source roles = [scale_variance, 3, null] 操作後 derived = [720] 條件：無 平移時平均也加c，中心差不變；縮放時平均乘k，中心差乘k故變異數乘k²（k負或0皆可）。此處已以實際Y全量重算，不用定律遮掉未驗c/k。 步驟識別與依賴規則：Variance_SHIFT_SCALE_law_with_conditions · 依賴：G001, S038 ## 逐步反向核對 - S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。 ## 結論 720/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b654e09e88d534eab6340ee410ace9239f1cb2725fc920a4ec8f6bcd1d12988a - candidate record SHA-256: ca006ce72233cd8d26278cc7d1239bf51462843314f59cdf0c19a0833fdb121c - semantic review receipt SHA-256: 9820ac6529139bd53d516c8bfdfdd41184b0cd52dad69fa433344010db37af80 - question-first witness SHA-256: c9c939762bbd4d3ea3403084c8e95541dc2c7e56eb82fc74eaba8c80a4517dab - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261004-advance-20261005-r07-variance-0073.json)