# 第 34570 題：全實數二次函數的全域極值 [返回所在分頁 173](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/173/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261005-advance-20261006-r02-quadratic-function-foundations/#q-20261005-advance-20261006-r02-quadratic-function-0070) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0068-34570 · q-20261005-advance-20261006-r02-quadratic-function-0070 ## 原題與已知條件 在全實數論域，指定 q:R→R，q(x)=-4(x−(12))²+(7)，a=-4≠0。指出全域最小值或全域最大值，並給出該值；不限制成有限輸入區間。 - G001 — 在全實數論域，指定 q:R→R，q(x)=-4(x−(12))²+(7)，a=-4≠0。指出全域最小值或全域最大值，並給出該值；不限制成有限輸入區間。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-quadratic-function-extremum, [a, domain, h, k, operation]] 操作後 derived = [quadratic_extremum, reals] 條件：無 按來源分bank：legacy raw SAFE/衍生BigInt無界，BASE Number.isInteger不偷加SAFE/百萬界。underscore operation、domain及寬/嚴keys各依本bank；原JSON完整保存。 步驟識別與依賴規則：R68_BANK_specific_keys_operations_and_numeric_guards · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [-4, 12, 7] 操作後 derived = [q(x)=a*(x-h)^2+k, x in R] 條件：無 先驗a非0與完整實數論域，原函數是頂點式而非a*x²+h*x+k。所有下列變形都保持原h/k的角色；不偷換有限區間問題。 步驟識別與依賴規則：Quadratic_FULL_real_vertex_form_nonzero_leading_coefficient · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL x minus h := sub(12, 12) 操作後 Quadratic ORIGINAL x minus h = 0 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL displacement squared := mul(0, 0) 操作後 Quadratic ORIGINAL displacement squared = 0 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL a times displacement squared := mul(-4, 0) 操作後 Quadratic ORIGINAL a times displacement squared = 0 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL weighted square plus k := sum(0, 7) 操作後 Quadratic ORIGINAL weighted square plus k = 7 條件：無 按原操作數/次序精確運算；乘/減/除明示兩操作數，legacy BigInt衍生量不重套raw SAFE界，BASE Number來源的型別/表示條件另驗，不以浮點近似湊答案。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [-4, 12, 7] 操作後 derived = [(x-h)^2>=0 for ALL real x, q(x)<=k, q(h)=k, 全域最大值=7] 條件：無 對每個實數x平方非負，乘正a保≥、負a反向成≤；再加k得全域界，且x=h真的達到k。另一方向隨|x-h|→∞無界，所以不假稱兩方向都有有限全域最值。 步驟識別與依賴規則：Quadratic_UNIVERSAL_square_sign_global_bound_AND_attainment · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL weighted square plus k，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL a times displacement squared，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL displacement squared，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL x minus h，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本題的原始已知量、論域與本步條件；保留原題/英文/MKO/AST/狀態，不把單向推論倒成等價，也不把有限核對當獨立審查或一般形式證明。 ## 結論 全域最大值=7 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5d8b82b89918149cd0c075551db979b40ee9d2abb471e6a79d3527a1736abff3 - candidate record SHA-256: e7531ebbf1260d78fed94b7a6fe8d5208320ed5d226d5c59addfbe36e35aac21 - semantic review receipt SHA-256: e7a54104fa02c235f7591329bd6db8d626dd74bf0fae29c557b1f269c85066ed - question-first witness SHA-256: 8401a3c2064c1275a6a7ea8f00412fa12286cec7b2db6c305ff9dba3724ae229 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261005-advance-20261006-r02-quadratic-function-0070.json)