# 第 28678 題：二次頂點式的平均變化率 [返回所在分頁 144](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/144/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261005-advance-20261006-r03-rate-of-change-foundations/#q-20261005-advance-20261006-r03-rate-of-change-0078) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0056-28678 · q-20261005-advance-20261006-r03-rate-of-change-0078 ## 原題與已知條件 在全實數論域，指定 q:R→R，q(x)=3(x−(-10))²+(-10)，a=3≠0。求 x0=-11 到 x1=-7 的平均變化率，明示兩個輸入不同；以最簡正分母 p/q 回答。 - G001 — 在全實數論域，指定 q:R→R，q(x)=3(x−(-10))²+(-10)，a=3≠0。求 x0=-11 到 x1=-7 的平均變化率，明示兩個輸入不同；以最簡正分母 p/q 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-rate-of-change](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-rate-of-change/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-rate-quadratic-average, quadratic_average] 操作後 derived = [exact_quadratic_endpoint_average_not_derivative] 條件：無 本題輸出依原scalar／set／是非／fraction角色；有理數整數保留/1。不加未宣告domain，不改中英來源、公式或題目。 步驟識別與依賴規則：R56_source_answer_role_and_EXACT_family_interface · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Rate ORIGINAL x1 minus x0 := sub(-7, -11) 操作後 Rate ORIGINAL x1 minus x0 = 4 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL displacement0 := sub(-11, -10) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL displacement0 = -1 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL square0 := mul(-1, -1) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL square0 = 1 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL a times square0 := mul(3, 1) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL a times square0 = 3 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL endpoint0 plus k := sum(3, -10) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL endpoint0 plus k = -7 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL displacement1 := sub(-7, -10) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL displacement1 = 3 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL square1 := mul(3, 3) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL square1 = 9 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL a times square1 := mul(3, 9) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL a times square1 = 27 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Rate quadratic ORIGINAL endpoint1 plus k := sum(27, -10) 操作後 Rate quadratic ORIGINAL endpoint1 plus k = 17 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [3, -10, -10, -11, -7] 操作後 derived = [[-7, 17], dy=a*(x1-x0)*(x1+x0-2h)] 條件：無 用完整vertex quadratic，k消去且兩平方差=(x1-x0)(x1+x0-2h)。對稱端點可dy=0但a非0，不能推函數常數。 步驟識別與依賴規則：Rate_WHOLE_quadratic_difference_of_squares · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Rate ORIGINAL y1 minus y0 := sub(17, -7) 操作後 Rate ORIGINAL y1 minus y0 = 24 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Rate ORIGINAL dy over dx := div(24, 4) 操作後 Rate ORIGINAL dy over dx = 6 條件：無 按本題原始角色作精確有理運算；SAFE只約束原輸入，衍生整數不截斷，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [-11, -7, -7, 17, 4, 24] 操作後 derived = [6/1] 條件：無 保持同一端點次序，平均率=(y1-y0)/(x1-x0)。可同時逆轉兩個差，不可只逆一個；可負、可0，分母約正後整數也保/1。這不由有限樣本證一般導數。 步驟識別與依賴規則：Rate_oriented_quotient_reverse_BOTH_differences · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原始資料與本步條件；保持索引、符號、嚴格／非嚴格邊界，不能用正確答案代替推導責任。這是候選教學與精確核對，非形式證明或發布資格。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate ORIGINAL dy over dx，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate ORIGINAL y1 minus y0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原始資料與本步條件；保持索引、符號、嚴格／非嚴格邊界，不能用正確答案代替推導責任。這是候選教學與精確核對，非形式證明或發布資格。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL endpoint1 plus k，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL a times square1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL square1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL displacement1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL endpoint0 plus k，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL a times square0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL square0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate quadratic ORIGINAL displacement0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Rate ORIGINAL x1 minus x0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向逐項代回原始資料與本步條件；保持索引、符號、嚴格／非嚴格邊界，不能用正確答案代替推導責任。這是候選教學與精確核對，非形式證明或發布資格。 ## 結論 6/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5799d1e1fae935335efc4ec6076c1fd78af9e176b77541d78ce5cb8b3deee90e - candidate record SHA-256: ec52629ff6e104e122eae31f55448d4b531593e4a1dcec4f159170e5d27fb92b - semantic review receipt SHA-256: 8bbda4edbed7078634ae88342998c79bcfb95de96187fac119c3b08e0adb0bc8 - question-first witness SHA-256: 3edafa72d63d16a22414892b55806430e0a25b15b926d04f312550179607759f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261005-advance-20261006-r03-rate-of-change-0078.json)