# 第 31353 題：兩段歐氏距離的精確比較 [返回所在分頁 157](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/157/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261005-advance-20261006-r04-distance-formula-foundations/#q-20261005-advance-20261006-r04-distance-formula-0078) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0061-31353 · q-20261005-advance-20261006-r04-distance-formula-0078 ## 原題與已知條件 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(-10, 3)、Q=(-8, 6)，同一框架另有 U=(3, -5)、V=(3, -5)。比較 d(P,Q) 與 d(U,V)，回答 <、= 或 >。 - G001 — 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，P=(-10, 3)、Q=(-8, 6)，同一框架另有 U=(3, -5)、V=(3, -5)。比較 d(P,Q) 與 d(U,V)，回答 <、= 或 >。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-distance-formula](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-distance-formula/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-distance-comparison, distance_comparison, frame, euclidean_orthonormal_equal_units] 操作後 derived = [[PQ_versus_UV_operator]] 條件：無 先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。 步驟識別與依賴規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 := sub(-8, -10) 操作後 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0 = 2 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 := sub(6, 3) 操作後 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1 = 3 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 := mul(2, 2) 操作後 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0 = 4 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 := mul(3, 3) 操作後 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1 = 9 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Distance PQ ORIGINAL sum of two squares := sum(4, 9) 操作後 Distance PQ ORIGINAL sum of two squares = 13 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Distance PQ, [-10, 3], [-8, 6]] 操作後 derived = [[2, 3], [4, 9], 13] 條件：無 在明示正交單位且等尺度的座標frame，距離平方為(Δx)²+(Δy)²≥0；重合點可為0。分量差保sign，平方和不把signed分量當距離。 步驟識別與依賴規則：Distance_ORTHONORMAL_equal_units_two_squares_NONNEGATIVE · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis0 := sub(3, 3) 操作後 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis0 = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis1 := sub(-5, -5) 操作後 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis1 = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis0 := mul(0, 0) 操作後 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis0 = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis1 := mul(0, 0) 操作後 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis1 = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Distance UV ORIGINAL sum of two squares := sum(0, 0) 操作後 Distance UV ORIGINAL sum of two squares = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Distance UV, [3, -5], [3, -5]] 操作後 derived = [[0, 0], [0, 0], 0] 條件：無 在明示正交單位且等尺度的座標frame，距離平方為(Δx)²+(Δy)²≥0；重合點可為0。分量差保sign，平方和不把signed分量當距離。 步驟識別與依賴規則：Distance_ORTHONORMAL_equal_units_two_squares_NONNEGATIVE · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [13, 0] 操作後 derived = [>] 條件：無 兩距離皆非負，平方根在非負數上嚴格遞增，所以比較平方即可，方向是PQ相對UV。無須平方和為完全平方，也不依signed分量或座標順序比較。 步驟識別與依賴規則：Distance_COMPARE_PQ_versus_UV_by_nondecreasing_principal_roots · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S013 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL sum of two squares，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL signed delta squared axis0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance UV ORIGINAL Q minus P axis0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL sum of two squares，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL signed delta squared axis0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Distance PQ ORIGINAL Q minus P axis0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 ## 結論 > 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 52d5535b5a13577b41530dee76ff80f3ce75cb91ee457ed8959cd9645016662a - candidate record SHA-256: 8d1b0e32a9a8191d7ed2a8df6122b871819757852d1c58d434bd780652db2721 - semantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69 - question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261005-advance-20261006-r04-distance-formula-0078.json)