# 第 2985 題：相對圓邊界的三種位置 [返回所在分頁 15](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/15/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261005-advance-20261006-r05-circle-foundations/#q-20261005-advance-20261006-r05-circle-0035) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0004-02985 · q-20261005-advance-20261006-r05-circle-0035 ## 原題與已知條件 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，圓心 O=(-3, -4)，非負半徑 r=8，圓 C={P:d(P,O)=r}。將 P=(5, -4) 分為內、圓上或外；以到圓心距離與半徑比較。 - G001 — 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，圓心 O=(-3, -4)，非負半徑 r=8，圓 C={P:d(P,O)=r}。將 P=(5, -4) 分為內、圓上或外；以到圓心距離與半徑比較。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-circle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-circle/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 orthonormal equal-length units;r=8≥0 操作後 C={P:distance(P,O)=r} is a boundary,not a filled disk 條件：無 圓指到圓心距離恰為r的邊界；內部不是圓上的同義詞。半徑0採退化點集{O}，沒有圓內點，直徑長0。 步驟識別與依賴規則：circle_boundary_convention · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 radius squared := square(8) 操作後 radius squared = 64 條件：無 非負半徑的平方是比較距離的門檻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 coordinate difference0 := sub(5, -3) 操作後 coordinate difference0 = 8 條件：無 先取點減圓心的座標差，不能直接平方絕對座標。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 coordinate square0 := square(8) 操作後 coordinate square0 = 64 條件：無 逐分量平方，負差仍給非負貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 coordinate difference1 := sub(-4, -4) 操作後 coordinate difference1 = 0 條件：無 先取點減圓心的座標差，不能直接平方絕對座標。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 coordinate square1 := square(0) 操作後 coordinate square1 = 0 條件：無 逐分量平方，負差仍給非負貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 squared distance := sum(64, 0) 操作後 squared distance = 64 條件：無 正交且等單位時，由畢氏關係相加兩個平方差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 d²=64;r²=64 操作後 requested classification=圓上 條件：無 距離與半徑皆非負，平方保序；相等才在邊界，嚴格小於為內、大於為外，不需小數開根。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_squared_distance_comparison · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared distance，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate square1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate difference1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate square0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 coordinate difference0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 radius squared，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 圓上 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5bdb73397e4d5c9a4df05750b762c011aa10260efacc6931f4c2c10006fef2e2 - candidate record SHA-256: dec983a737cecd1eb4805be34d749410fe8964e54d2b01d81cf550d4c3df1837 - semantic review receipt SHA-256: 312ae86315346b8955842a547cb2d09246e1f826755f72c2a51f042e5c7d5c56 - question-first witness SHA-256: 831f449ed41ff9144a290e534aa32adf7252d15b81c16ed5886a7dfd65dee70c - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261005-advance-20261006-r05-circle-0035.json)