# 第 2773 題：兩個整數半開矩形聯集的面積 [返回所在分頁 14](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/14/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261005-advance-20261006-r06-area-foundations/#q-20261005-advance-20261006-r06-area-0098) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0004-02773 · q-20261005-advance-20261006-r06-area-0098 ## 原題與已知條件 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，半開矩形 A=[0,7)×[0,6)，B=[1,6)×[1,5)。求 A∪B 的面積平方單位數，端點有序且允許空矩形。 - G001 — 在等單位正交座標系中，兩軸使用同一長度單位，半開矩形 A=[0,7)×[0,6)，B=[1,6)×[1,5)。求 A∪B 的面積平方單位數，端點有序且允許空矩形。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-area](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-area/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 orthonormal equal-length coordinate units;half-open regions 操作後 area in squared length units 條件：無 兩軸正交且使用相同長度單位；半開邊界避免相鄰單位格重複包含邊，面積單位是平方單位而非長度。 步驟識別與依賴規則：half_open_area_convention · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 A width := sub(7, 0) 操作後 A width = 7 條件：無 有序端點的右減左是非負寬度，不把原點位移當面積。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 A height := sub(6, 0) 操作後 A height = 6 條件：無 上減下是非負高度，必使用同一矩形的端點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 A area := mul(7, 6) 操作後 A area = 42 條件：無 矩形面積為寬乘高；任一零邊長表示空的半開矩形，面積0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 B width := sub(6, 1) 操作後 B width = 5 條件：無 有序端點的右減左是非負寬度，不把原點位移當面積。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 B height := sub(5, 1) 操作後 B height = 4 條件：無 上減下是非負高度，必使用同一矩形的端點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 B area := mul(5, 4) 操作後 B area = 20 條件：無 矩形面積為寬乘高；任一零邊長表示空的半開矩形，面積0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 overlap raw width := sub(6, 1) 操作後 overlap raw width = 5 條件：無 交集左右界分別取較小右界與較大左界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 overlap raw height := sub(5, 1) 操作後 overlap raw height = 4 條件：無 交集上下界同樣取內側界線。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 raw overlap widths=(5,4) 操作後 nonnegative overlap widths=(5,4) 條件：無 相離或只觸邊時交集面積0；不能相乘兩個負寬度得到虛構正面積。 步驟識別與依賴規則：empty_intersection_clamp · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 intersection area := mul(5, 4) 操作後 intersection area = 20 條件：無 先截取非負交長，再相乘求交集面積。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 sum of rectangle areas := sum(42, 20) 操作後 sum of rectangle areas = 62 條件：無 先把兩個矩形面積相加，此時交集被算了兩次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 union area := sub(62, 20) 操作後 union area = 42 條件：無 用有限容斥減去一次交集，使每個區域只計一次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 A∪B=(A\B) disjoint-union B 操作後 area(A∪B)=42 條件：無 包含、相同、空矩形、相離或交疊皆適用，不能在有交集時直接相加。 步驟識別與依賴規則：rectangle_union_inclusion_exclusion · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 union area，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum of rectangle areas，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 intersection area，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 overlap raw height，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 overlap raw width，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B area，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B height，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B width，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A area，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A height，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A width，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 42 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7fa23c6ffccef242fbf2a2902a7f1a2882697258f779b2b86314b212af257d4c - candidate record SHA-256: 044397dfad2ba599fcea4f61fc216748dee370f26133f6c60dea91f378a7182c - semantic review receipt SHA-256: 312ae86315346b8955842a547cb2d09246e1f826755f72c2a51f042e5c7d5c56 - question-first witness SHA-256: 831f449ed41ff9144a290e534aa32adf7252d15b81c16ed5886a7dfd65dee70c - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261005-advance-20261006-r06-area-0098.json)