# 第 32881 題：二階矩陣的向量像 [返回所在分頁 165](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/165/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0006) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32881 · q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0006 ## 原題與已知條件 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[-7, 2], [-2, 6]]，T(x)=Mx。求 T(v)，v=[-5, 1]。 - G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[-7, 2], [-2, 6]]，T(x)=Mx。求 T(v)，v=[-5, 1]。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-transformation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-linear-map-image, linear_image, reals, []] 操作後 derived = [[VECTOR_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column0 product := mul(-7, -5) 操作後 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column0 product = 35 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column1 product := mul(2, 1) 操作後 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column1 product = 2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 two products sum := sum(35, 2) 操作後 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 two products sum = 37 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Image M times ORIGINAL v, 0, [-7, 2], [-5, 1]] 操作後 derived = [[35, 2], 37] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, -5) 操作後 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column0 product = 10 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column1 product := mul(6, 1) 操作後 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column1 product = 6 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 two products sum := sum(10, 6) 操作後 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 two products sum = 16 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Image M times ORIGINAL v, 1, [-2, 6], [-5, 1]] 操作後 derived = [[10, 6], 16] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Image M times ORIGINAL v ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 [37, 16] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: cc53e63e04b55ec32caff0de652dba0711a2094fd94ee808be38f40cf6c09f18 - candidate record SHA-256: 4be37c8669e4c634a2defb3f30e5c7416f11f792c7dc2ef1d6579ca32d3b7a51 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0006.json)