# 第 32826 題：仿射偏移是否仍為線性 [返回所在分頁 165](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/165/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0026) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32826 · q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0026 ## 原題與已知條件 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[0, 0], [0, 0]]，T(x)=Mx。另設 F(x)=Mx+b，b=[0, 0]。F 在全 R² 上是否線性？ - G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[0, 0], [0, 0]]，T(x)=Mx。另設 F(x)=Mx+b，b=[0, 0]。F 在全 R² 上是否線性？ ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-transformation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-linear-map-affine-test, affine_linearity, reals, []] 操作後 derived = [[zero_offset_linearity_YesNo_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column0 product := mul(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column0 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column1 product := mul(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column1 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 two products sum := sum(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 two products sum = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Affine ORIGINAL matrix at zero, 0, [0, 0], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column0 product := mul(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column0 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column1 product := mul(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column1 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 two products sum := sum(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 two products sum = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Affine ORIGINAL matrix at zero, 1, [0, 0], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component0 := sum(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component0 = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component1 := sum(0, 0) 操作後 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component1 = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [[[0, 0], [0, 0]], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 是] 條件：無 對已給全R² affine法則，F(0)=b：b非0違反線性必要條件，b0則Mx由分配律線性。M可奇異或全0，不需det／可逆，也不是非零點抽測。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_AFFINE_whole_form_linear_IFF_zero_offset_NOT_det_gate · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL M0 plus offset ORIGINAL component0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL matrix at zero ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 是 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 06d45430a5913829000116a027359a0802c4d7f2729d87ba1726c5802414f148 - candidate record SHA-256: 12d758980976932261d031a1931e32d7a1dd1e46205ae4079635ea39e84e98d1 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0026.json)