# 第 32816 題：矩陣模型加法兩側值 [返回所在分頁 165](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/165/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32816 · q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0066 ## 原題與已知條件 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[3, 4], [-2, 16]]，T(x)=Mx。u=[15, 1]、v=[-15, -1]，分別求 T(u+v) 與 T(u)+T(v)，答「左向量 = 右向量」。 - G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[3, 4], [-2, 16]]，T(x)=Mx。u=[15, 1]、v=[-15, -1]，分別求 T(u+v) 與 T(u)+T(v)，答「左向量 = 右向量」。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-transformation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-linear-map-additivity-values, additivity_values, reals, []] 操作後 derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Additivity ORIGINAL u plus v ORIGINAL component0 := sum(15, -15) 操作後 Additivity ORIGINAL u plus v ORIGINAL component0 = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Additivity ORIGINAL u plus v ORIGINAL component1 := sum(1, -1) 操作後 Additivity ORIGINAL u plus v ORIGINAL component1 = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 column0 product := mul(3, 0) 操作後 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 column0 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 column1 product := mul(4, 0) 操作後 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 column1 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 two products sum := sum(0, 0) 操作後 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 two products sum = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Additivity LEFT M of sum, 0, [3, 4], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 0) 操作後 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 column0 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 column1 product := mul(16, 0) 操作後 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 column1 product = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 two products sum := sum(0, 0) 操作後 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 two products sum = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Additivity LEFT M of sum, 1, [-2, 16], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(3, 15) 操作後 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 45 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(4, 1) 操作後 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 4 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(45, 4) 操作後 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 49 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Additivity RIGHT M of u, 0, [3, 4], [15, 1]] 操作後 derived = [[45, 4], 49] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 15) 操作後 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = -30 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(16, 1) 操作後 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 16 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(-30, 16) 操作後 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = -14 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Additivity RIGHT M of u, 1, [-2, 16], [15, 1]] 操作後 derived = [[-30, 16], -14] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 column0 product := mul(3, -15) 操作後 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 column0 product = -45 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 column1 product := mul(4, -1) 操作後 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 column1 product = -4 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 two products sum := sum(-45, -4) 操作後 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 two products sum = -49 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [Additivity RIGHT M of v, 0, [3, 4], [-15, -1]] 操作後 derived = [[-45, -4], -49] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, -15) 操作後 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 column0 product = 30 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 column1 product := mul(16, -1) 操作後 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 column1 product = -16 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 two products sum := sum(30, -16) 操作後 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 two products sum = 14 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [Additivity RIGHT M of v, 1, [-2, 16], [-15, -1]] 操作後 derived = [[30, -16], 14] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Additivity RIGHT images sum ORIGINAL component0 := sum(49, -49) 操作後 Additivity RIGHT images sum ORIGINAL component0 = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Additivity RIGHT images sum ORIGINAL component1 := sum(-14, 14) 操作後 Additivity RIGHT images sum ORIGINAL component1 = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 source roles = [additivity_values, [[3, 4], [-2, 16]], [15, 1], [-15, -1]] 操作後 derived = [[0, 0], [0, 0], [0, 0] = [0, 0]] 條件：無 完整各算兩側向量再比相等，輸出[left]=[right]，不是YesNo／tuple／point。零或負c、零向量合法；這些是明示矩陣模型的值，不是任意函數的有限抽樣線性證明。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_BOTH_actual_vectors_equality_STRING_NOT_sample_linearity_proof · 依賴：G001, S029 ## 逐步反向核對 - S030 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT images sum ORIGINAL component1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT images sum ORIGINAL component0，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of v ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity LEFT M of sum ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity ORIGINAL u plus v ORIGINAL component1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Additivity ORIGINAL u plus v ORIGINAL component0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 [0, 0] = [0, 0] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 25b94c688c37c3cd11886acd308e63948452779b830b2aadb5042c927018327a - candidate record SHA-256: 940b6ec6820df503265f94e39849c292b2efd571463fe6dcaaf27748ce3c14ab - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0066.json)