# 第 32873 題：矩陣模型純量兩側值 [返回所在分頁 165](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/165/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0098) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32873 · q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0098 ## 原題與已知條件 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[10, 3], [-2, 23]]，T(x)=Mx。u=[10, 23]、c=3，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。 - G001 — 實平面線性模型，固定標準基底，以直行向量記輸入，M=[[10, 3], [-2, 23]]，T(x)=Mx。u=[10, 23]、c=3，分別求 T(cu) 與 cT(u)，答「左向量 = 右向量」。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-transformation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-linear-map-homogeneity-values, homogeneity_values, reals, []] 操作後 derived = [[VECTOR_EQUALS_VECTOR_STRING]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 := mul(3, 10) 操作後 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0 = 30 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 := mul(3, 23) 操作後 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1 = 69 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product := mul(10, 30) 操作後 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product = 300 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product := mul(3, 69) 操作後 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product = 207 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum := sum(300, 207) 操作後 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum = 507 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 0, [10, 3], [30, 69]] 操作後 derived = [[300, 207], 507] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 30) 操作後 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product = -60 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product := mul(23, 69) 操作後 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product = 1587 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum := sum(-60, 1587) 操作後 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum = 1527 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Homogeneity LEFT M of scaled input, 1, [-2, 23], [30, 69]] 操作後 derived = [[-60, 1587], 1527] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product := mul(10, 10) 操作後 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product = 100 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product := mul(3, 23) 操作後 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product = 69 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum := sum(100, 69) 操作後 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum = 169 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 0, [10, 3], [10, 23]] 操作後 derived = [[100, 69], 169] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product := mul(-2, 10) 操作後 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product = -20 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product := mul(23, 23) 操作後 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product = 529 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum := sum(-20, 529) 操作後 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum = 509 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Homogeneity RIGHT M of u, 1, [-2, 23], [10, 23]] 操作後 derived = [[-20, 529], 509] 條件：無 固定標準基底用row-by-column，兩個product都加；derived向量分量可超SAFE，不能再當raw vector重驗。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_EACH_row_by_column_component_ALL_products · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 := mul(3, 169) 操作後 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0 = 507 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 := mul(3, 509) 操作後 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1 = 1527 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [homogeneity_values, [[10, 3], [-2, 23]], [10, 23], 3] 操作後 derived = [[507, 1527], [507, 1527], [507, 1527] = [507, 1527]] 條件：無 完整各算兩側向量再比相等，輸出[left]=[right]，不是YesNo／tuple／point。零或負c、零向量合法；這些是明示矩陣模型的值，不是任意函數的有限抽樣線性證明。 步驟識別與依賴規則：LinearMap_BOTH_actual_vectors_equality_STRING_NOT_sample_linearity_proof · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT c times image ORIGINAL component0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity RIGHT M of u ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 two products sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 two products sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity LEFT M of scaled input ORIGINAL row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Homogeneity ORIGINAL c times u ORIGINAL component0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 [507, 1527] = [507, 1527] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 95fd96c9dcce62beddf3f1a924c368c504299ca7d73f06a11151e700e3d14f76 - candidate record SHA-256: 33edb186119eb5d0e0fc2903863c95742197613da20cdd6da1ac43ca36f329a9 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r02-linear-transformation-0098.json)