# 第 31298 題：純量縮放的二階行列式 [返回所在分頁 157](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/157/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r03-determinant-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r03-determinant-0098) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0061-31298 · q-20261006-advance-20261007-r03-determinant-0098 ## 原題與已知條件 實二階方陣，論域 R，M=[[10, 3], [-2, 23]]。給 c=3，求 det(cM)。 - G001 — 實二階方陣，論域 R，M=[[10, 3], [-2, 23]]。給 c=3，求 det(cM)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-determinant](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-determinant/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-determinant-scalar, scaled_determinant, domain, reals] 操作後 derived = [[integer_det_cM]] 條件：無 先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。 步驟識別與依賴規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Det scalar ORIGINAL entry0,0 := mul(3, 10) 操作後 Det scalar ORIGINAL entry0,0 = 30 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Det scalar ORIGINAL entry0,1 := mul(3, 3) 操作後 Det scalar ORIGINAL entry0,1 = 9 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Det scalar ORIGINAL entry1,0 := mul(3, -2) 操作後 Det scalar ORIGINAL entry1,0 = -6 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Det scalar ORIGINAL entry1,1 := mul(3, 23) 操作後 Det scalar ORIGINAL entry1,1 = 69 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [[[10, 3], [-2, 23]], 3] 操作後 derived = [[[30, 9], [-6, 69]]] 條件：無 c乘全部四個entry，之後才取det。因為2×2有兩個row因子，整體是c² det(M)而非c det(M)；c=0或負數合法。 步驟識別與依賴規則：Determinant_SCALE_ALL_entries_c2_factor_in_dimension2 · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product := mul(30, 69) 操作後 Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product = 2070 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product := mul(9, -6) 操作後 Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product = -54 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc := sub(2070, -54) 操作後 Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc = 2124 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Det requested matrix, [[30, 9], [-6, 69]]] 操作後 derived = [2070, -54, 2124] 條件：無 對此2×2矩陣明列ad、bc，再用ad−bc保符號；不是永久式ad+bc。衍生矩陣元素不重套SAFE。 步驟識別與依賴規則：Determinant_2x2_signed_ad_MINUS_bc · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL signed ad minus bc，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL other diagonal product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det requested matrix ORIGINAL main diagonal product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry1,1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry1,0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry0,1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Det scalar ORIGINAL entry0,0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 ## 結論 2124 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 095b3b7186680a64669eadea47c19c5268a90f078ffef17b8853819ab17e3709 - candidate record SHA-256: fa1e07302d5b570550b4709ebf9ab148961b5221b34e237d34bd9a91fbbace3a - semantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69 - question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r03-determinant-0098.json)