# 第 31480 題：候選純量的 kernel 成員 [返回所在分頁 158](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/158/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-0055) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0061-31480 · q-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-0055 ## 原題與已知條件 實二階方陣，論域 R，M=[[4, 1], [1, 4]]。λ=5、v=[1, 1]。v 是否屬於 ker(M−λI)？λ 不預設為特徵值。 - G001 — 實二階方陣，論域 R，M=[[4, 1], [1, 4]]。λ=5、v=[1, 1]。v 是否屬於 ker(M−λI)？λ 不預設為特徵值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-eigenvalue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eigenvalue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-eigenvalue-kernel-membership, kernel_membership, domain, reals] 操作後 derived = [[equality_including_zero_vector_YesNo]] 條件：無 先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。 步驟識別與依賴規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL row0 term0 := mul(4, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL row0 term0 = 4 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL row0 term1 := mul(1, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL row0 term1 = 1 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL Mv row0 sum := sum(4, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL Mv row0 sum = 5 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL lambda times v row0 := mul(5, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL lambda times v row0 = 5 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL residual row0 := sub(5, 5) 操作後 Eigen ORIGINAL residual row0 = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL row1 term0 := mul(1, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL row1 term0 = 1 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL row1 term1 := mul(4, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL row1 term1 = 4 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL Mv row1 sum := sum(1, 4) 操作後 Eigen ORIGINAL Mv row1 sum = 5 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL lambda times v row1 := mul(5, 1) 操作後 Eigen ORIGINAL lambda times v row1 = 5 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Eigen ORIGINAL residual row1 := sub(5, 5) 操作後 Eigen ORIGINAL residual row1 = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [[[4, 1], [1, 4]], 5, [1, 1], kernel_membership] 操作後 derived = [[5, 5], [5, 5], [0, 0], 是, 是, 是] 條件：無 逐row驗Mv=λv，再分是否非零vector。eigenpair需要v≠0且等式真；kernel只需(M−λI)v=0，因此零向量永遠在kernel，不能據此說λ必為特徵值。 步驟識別與依賴規則：Eigen_ALL_rows_equation_AND_NONZERO_eigenvector_vs_kernel_guard · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL residual row1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL lambda times v row1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL Mv row1 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL row1 term1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL row1 term0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL residual row0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL lambda times v row0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL Mv row0 sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL row0 term1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen ORIGINAL row0 term0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 ## 結論 是 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 922a79a98710cda4b1717df504aea37a3b4ab276790ebece84e47a00561f9ca2 - candidate record SHA-256: b459df7d829463bd3736d015c8b70aa2d2a2c87805486f36806e6a2812d5807c - semantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69 - question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-0055.json)