# 第 31507 題：二階方陣的互異實特徵值數 [返回所在分頁 158](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/158/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-foundations/#q-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-0082) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0062-31507 · q-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-0082 ## 原題與已知條件 實二階方陣，論域 R，M=[[-2, 1], [1, 2]]。只求互異實特徵值的個數 0、1 或2，不求小數根。 - G001 — 實二階方陣，論域 R，M=[[-2, 1], [1, 2]]。只求互異實特徵值的個數 0、1 或2，不求小數根。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-eigenvalue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eigenvalue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-eigenvalue-real-count, reals, real_eigenvalue_count, no-form-field] 操作後 derived = [[distinct_real_count_STRING]] 條件：無 按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。 步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL diagonal trace := sum(-2, 2) 操作後 Eigen count ORIGINAL diagonal trace = 0 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL ad := mul(-2, 2) 操作後 Eigen count ORIGINAL ad = -4 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL bc := mul(1, 1) 操作後 Eigen count ORIGINAL bc = 1 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL ad minus bc := sub(-4, 1) 操作後 Eigen count ORIGINAL ad minus bc = -5 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL negative trace := sub(0, 0) 操作後 Eigen count ORIGINAL negative trace = 0 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL trace squared := mul(0, 0) 操作後 Eigen count ORIGINAL trace squared = 0 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL four times determinant := mul(4, -5) 操作後 Eigen count ORIGINAL four times determinant = -20 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Eigen count ORIGINAL characteristic discriminant := sub(0, -20) 操作後 Eigen count ORIGINAL characteristic discriminant = 20 條件：無 使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [[[-2, 1], [1, 2]]] 操作後 derived = [[1, 0, -5], 20] 條件：無 由det(λI−M)=(λ−a)(λ−d)−bc得到λ²−(a+d)λ+(ad−bc)，再算判別式。係數與判別式都是衍生精確值，不重套SAFE。 步驟識別與依賴規則：Eigen_COUNT_characteristic_polynomial_ALL_coefficients · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [20] 操作後 derived = [2] 條件：無 實係數二次式判別式負／零／正對應0／1／2個相異實根。正但非完全平方仍有2個實根；重根只算1，不推論可對角化、Jordan結構或複數譜。 步驟識別與依賴規則：Eigen_COUNT_DISTINCT_REAL_roots_by_sign_NOT_square_or_multiplicity · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL characteristic discriminant，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL four times determinant，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL trace squared，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL negative trace，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL ad minus bc，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL bc，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL ad，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Eigen count ORIGINAL diagonal trace，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。 ## 結論 2 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 245d1a6efb135b30df514a13ef9f5d3111f4e08b1f1aa0c590ca9db459477a31 - candidate record SHA-256: 1dadaa7509d2c813ea41d4c718452651ff59a78eac8f623ce7f68951a7c29ead - semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd - question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261006-advance-20261007-r04-eigenvalue-0082.json)