# 第 3371 題：兩側與明示點值的連續資格 [返回所在分頁 17](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/17/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r03-continuity-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r03-continuity-0046) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0005-03371 · q-20261007-advance-20261008-r03-continuity-0046 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。當 x<8 時 f(x)=1x+(-1)，x>8 時 f(x)=-3x+(33)，另明示點值 f(8)=7。函數在 a=8 是否連續？ - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。當 x<8 時 f(x)=1x+(-1)，x>8 時 f(x)=-3x+(33)，另明示點值 f(8)=7。函數在 a=8 是否連續？ ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-continuity](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuity/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared real model;center a=8 操作後 distinguish punctured limits,point values and a new extension 條件：無 只使用明示實數公式；點值、去心極限及另建延拓的值不是同一欄位。 步驟識別與依賴規則：continuity_model_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 left branch slope times center := mul(1, 8) 操作後 left branch slope times center = 8 條件：無 將中心a代入該仿射公式的乘法部分。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 left branch center value := sum(8, -1) 操作後 left branch center value = 7 條件：無 再加本分支截距，不混用另一側的常數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 right branch slope times center := mul(-3, 8) 操作後 right branch slope times center = -24 條件：無 將中心a代入該仿射公式的乘法部分。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 right branch center value := sum(-24, 33) 操作後 right branch center value = 9 條件：無 再加本分支截距，不混用另一側的常數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 left L=7;right R=9;given f(a)=7 操作後 these are one-sided limits,not automatic point substitutions into f(a) 條件：無 仿射分支與其中心候選L的差為m(x−a)；任意ε>0取δ=ε/(1+|m|)，分支在相應一側便趨L。中心點值仍取明示v。 步驟識別與依賴規則：affine_one_sided_limits · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 left limit minus point value := sub(7, 7) 操作後 left limit minus point value = 0 條件：無 先求左極限相對實際點值的差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 right limit minus point value := sub(9, 7) 操作後 right limit minus point value = 2 條件：無 右極限也必須與同一點值比較。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 L−f(a)=0;R−f(a)=2 操作後 continuous at a=否 條件：無 在此兩側皆有仿射極限的實數模型，連續當且僅當左右極限與點值三者相等；只左右相等仍可能是補值錯誤。 步驟識別與依賴規則：two_sided_limit_equals_point · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right limit minus point value，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left limit minus point value，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right branch center value，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right branch slope times center，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left branch center value，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left branch slope times center，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 否 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 37dec9723fd32ab57191a468a18a8c4e277493f22722ae9e4ef927ea2d080bf6 - candidate record SHA-256: aac700493a39c7977bba0fb32bac1861fe78bdd42871463965fe1d409a88d086 - semantic review receipt SHA-256: 5d74de11610ebc6037a4fc9946d77154d4ed18389f8f0feeb823148b6320c4c2 - question-first witness SHA-256: 1fba4ab0f13c2cfcc4d9fdebe492c442d43dd45700394a443daa28f333355ed9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r03-continuity-0046.json)