# 第 3412 題：原商式的連續補定值

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0005-03412 · q-20261007-advance-20261008-r03-continuity-0062



## 原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。原商 (x²−(-1)²)/(x−(-1)) 在 x≠-1 定義。另建 g(a)=V 的全域延拓，哪個 V 使 g 在 a 連續？


- G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。原商 (x²−(-1)²)/(x−(-1)) 在 x≠-1 定義。另建 g(a)=V 的全域延拓，哪個 V 使 g 在 a 連續？





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-continuity](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuity/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

declared real model;center a=-1

操作後

distinguish punctured limits,point values and a new extension

條件：無

只使用明示實數公式；點值、去心極限及另建延拓的值不是同一欄位。

步驟識別與依賴規則：continuity_model_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

(x²−(-1)²)/(x−(-1));x≠-1

操作後

(x−(-1))(x+(-1))/(x−(-1))=x+(-1)

條件：無

先因式分解，僅因x≠a才可約去x−a；原商在a仍未定義。

步驟識別與依賴規則：punctured_factor_cancellation · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

extension center value := sum(-1, -1)

操作後

extension center value = -2

條件：無

去心處等於x+a，故當x趨a時極限為a+a。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

|(x+a)−2a|=|x−a|;a=-1

操作後

δ=ε>0 proves the punctured limit -2

條件：無

任意ε>0取δ=ε，0<|x−a|<δ便使函數與2a相差小於ε，非僅有限取樣。

步驟識別與依賴規則：extension_limit_epsilon_witness · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

new extension g equals the original quotient off a

操作後

continuity at a requires and is achieved by g(a)=-2

條件：無

極限唯一，所以補值必須等於2a；如此新g就是全實數上的x+a。這不追改原商在a未定義的事實。

步驟識別與依賴規則：extension_value_not_original_quotient · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 extension center value，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

-2

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: b58cb630dea0a19b8d0e7c5e6352a72b291da951f3ecd076ca530fa10947a88d
- candidate record SHA-256: 5fbbc95a5328275ec341f485372d7b3a3ac89a8677a0d14a403af7004b4e3d06
- semantic review receipt SHA-256: 5d74de11610ebc6037a4fc9946d77154d4ed18389f8f0feeb823148b6320c4c2
- question-first witness SHA-256: 1fba4ab0f13c2cfcc4d9fdebe492c442d43dd45700394a443daa28f333355ed9
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r03-continuity-0062.json)