# 第 8520 題：仿射模型的導數

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0016-08520 · q-20261007-advance-20261008-r04-derivative-0020



## 原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=7x+(-16)，求 f′(2)。


- G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=7x+(-16)，求 f′(2)。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-derivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

declared real formula on all R;derivative means the two-sided h->0 quotient limit

操作後

finite-step evaluation and derivative existence are separate

條件：無

導數由[f(x+h)−f(x)]/h在h→0、h≠0的雙側極限定義；有限一次代值不是任意函數可微的證據。

步驟識別與依賴規則：derivative_limit_definition_scope · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

affine m*x := mul(7, 2)

操作後

affine m*x = 14

條件：無

依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

affine f(x) := sum(14, -16)

操作後

affine f(x) = -2

條件：無

依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

f(t)=(7)*t+(-16);x=2;f(x)=-2;h!=0

操作後

f(x+h)-f(x)=(7)*h;quotient=7

條件：無

展開m(x+h)+b−(mx+b)，常數b與mx抵消，留下mh。只在h≠0時消去h；即使m=0也合法。

步驟識別與依賴規則：affine_increment_cancellation · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

for every h!=0 the quotient is 7

操作後

two-sided derivative at 2=7

條件：無

差商在整個去心鄰域恆為m，因此雙側極限就是m；不是用點值f(x)或截距作導數。

步驟識別與依賴規則：constant_quotient_limit · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine f(x)，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine m*x，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

7

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 67cc9c03df05f312f4b4eb529f8eb7420277dc37ce7818fe7d37377df2ef03cb
- candidate record SHA-256: 3ebdd59c04a2152e71051b143ee4d763fd2e330de80e7fa4dedb1ab8b1bba152
- semantic review receipt SHA-256: 00fcddb10a9fb0f56697308976a52e68e2537472bd8e68ecbe96d3c4553f4ad2
- question-first witness SHA-256: 198e04380b2d32aef2375b07ca0df1f8afa454d1184993173fad8a3c9187a3d1
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r04-derivative-0020.json)