# 第 8540 題：指定非零步長的有限差商 [返回所在分頁 43](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/43/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r04-derivative-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r04-derivative-0065) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0016-08540 · q-20261007-advance-20261008-r04-derivative-0065 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=14x²+(2)x+(28)，x=2、整數步長 h=3≠0。求 (f(x+h)−f(x))/h，採最簡正分母分數。 - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=14x²+(2)x+(28)，x=2、整數步長 h=3≠0。求 (f(x+h)−f(x))/h，採最簡正分母分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-derivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared real formula on all R;derivative means the two-sided h->0 quotient limit 操作後 finite-step evaluation and derivative existence are separate 條件：無 導數由[f(x+h)−f(x)]/h在h→0、h≠0的雙側極限定義；有限一次代值不是任意函數可微的證據。 步驟識別與依賴規則：derivative_limit_definition_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 at original x a*x := mul(14, 2) 操作後 at original x a*x = 28 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 at original x a*x+b := sum(28, 2) 操作後 at original x a*x+b = 30 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 at original x (a*x+b)*x := mul(30, 2) 操作後 at original x (a*x+b)*x = 60 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 at original x f(x) := sum(60, 28) 操作後 at original x f(x) = 88 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 f(t)=(14)*t^2+(2)*t+(28);x=2;f(x)=88;h!=0 操作後 f(x+h)-f(x)=h*(2*(14)*(2)+(2)+(14)*h) 條件：無 用(x+h)²=x²+2xh+h²展開，常數項與原x項相消，再提出h。a2=0時仍是合法的低次模型，不另要求首項非零。 步驟識別與依賴規則：quadratic_increment_factorization · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 twice quadratic coefficient := mul(2, 14) 操作後 twice quadratic coefficient = 28 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 twice a times x := mul(28, 2) 操作後 twice a times x = 56 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 linear part of quotient := sum(56, 2) 操作後 linear part of quotient = 58 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 shifted input x+h := sum(2, 3) 操作後 shifted input x+h = 5 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 at shifted x a*x := mul(14, 5) 操作後 at shifted x a*x = 70 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 at shifted x a*x+b := sum(70, 2) 操作後 at shifted x a*x+b = 72 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 at shifted x (a*x+b)*x := mul(72, 5) 操作後 at shifted x (a*x+b)*x = 360 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 at shifted x f(x) := sum(360, 28) 操作後 at shifted x f(x) = 388 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 finite increment f(x+h)-f(x) := sub(388, 88) 操作後 finite increment f(x+h)-f(x) = 300 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 specified finite quotient := div(300, 3) 操作後 specified finite quotient = 100 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 finite-step quadratic correction := mul(14, 3) 操作後 finite-step quadratic correction = 42 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 expanded finite quotient := sum(58, 42) 操作後 expanded finite quotient = 100 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 finite quotient minus derivative := sub(100, 58) 操作後 finite quotient minus derivative = 42 條件：無 依本步的原始操作數與運算順序精確計算；除法前須先核分母非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 h=3;finite quotient=100/1;derivative value=58 操作後 difference=42;a2*h=42 條件：無 這裡保留原題指定非零h，答案是有限差商，與導數的差為a2*h。仿射等特殊情形數值可相同，但不能倒推一般有限差商就是導數或證明可微。 步驟識別與依賴規則：finite_difference_not_derivative_limit · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite quotient minus derivative，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded finite quotient，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite-step quadratic correction，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 specified finite quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite increment f(x+h)-f(x)，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x f(x)，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x a*x+b，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x a*x，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shifted input x+h，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear part of quotient，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice a times x，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x f(x)，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x+b，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 100/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0b312949f0f4d7521c171cccbf55555b4a680dfa6dbbd00535dfcb57ae202994 - candidate record SHA-256: fee209bda66750aa771c2fb1c63767d3db062b8cc28b58f5491b01ea8f1dd00a - semantic review receipt SHA-256: 00fcddb10a9fb0f56697308976a52e68e2537472bd8e68ecbe96d3c4553f4ad2 - question-first witness SHA-256: 198e04380b2d32aef2375b07ca0df1f8afa454d1184993173fad8a3c9187a3d1 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r04-derivative-0065.json)