# 第 31221 題：多項式和的導數 [返回所在分頁 157](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/157/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r05-derivative-rules-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r05-derivative-rules-0021) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0061-31221 · q-20261007-advance-20261008-r05-derivative-rules-0021 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[8, 21, 1, 1]、g=[-18, -1, 1, -1]，兩輸入多項式各至多三次；求 (f+g) 在 x=-2 的導數值。 - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[8, 21, 1, 1]、g=[-18, -1, 1, -1]，兩輸入多項式各至多三次；求 (f+g) 在 x=-2 的導數值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-derivative-rules](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative-rules/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-derivative-rule-sum, derivative_sum, domain, reals] 操作後 derived = [[integer_derivative_value]] 條件：無 先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。 步驟識別與依賴規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [f OUTER or first, [8, 21, 1, 1]] 操作後 derived = [[8, 21, 1, 1]] 條件：無 先驗raw係數向量1..4及每個SAFE整數，再修去尾零但保留零多項式[0]。已給的是整個R上多項式法則，不能把少數樣本當可微性證明。 步驟識別與依賴規則：Derivative_RAW_ascending_arity_BEFORE_trim_whole_polynomial_R · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [g INNER or second, [-18, -1, 1, -1]] 操作後 derived = [[-18, -1, 1, -1]] 條件：無 先驗raw係數向量1..4及每個SAFE整數，再修去尾零但保留零多項式[0]。已給的是整個R上多項式法則，不能把少數樣本當可微性證明。 步驟識別與依賴規則：Derivative_RAW_ascending_arity_BEFORE_trim_whole_polynomial_R · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 f derivative coefficient power1 := mul(1, 21) 操作後 f derivative coefficient power1 = 21 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 f derivative coefficient power2 := mul(2, 1) 操作後 f derivative coefficient power2 = 2 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 f derivative coefficient power3 := mul(3, 1) 操作後 f derivative coefficient power3 = 3 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [f, [8, 21, 1, 1]] 操作後 derived = [[21, 2, 3]] 條件：無 逐項用(a_k x^k)′=k a_k x^(k−1)，常數導數為0。全部非零高次項都保留，不截成raw向量界。 步驟識別與依賴規則：Derivative_POWER_rule_EVERY_nonconstant_term_constant_derivative_zero · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 g derivative coefficient power1 := mul(1, -1) 操作後 g derivative coefficient power1 = -1 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 g derivative coefficient power2 := mul(2, 1) 操作後 g derivative coefficient power2 = 2 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 g derivative coefficient power3 := mul(3, -1) 操作後 g derivative coefficient power3 = -3 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [g, [-18, -1, 1, -1]] 操作後 derived = [[-1, 2, -3]] 條件：無 逐項用(a_k x^k)′=k a_k x^(k−1)，常數導數為0。全部非零高次項都保留，不截成raw向量界。 步驟識別與依賴規則：Derivative_POWER_rule_EVERY_nonconstant_term_constant_derivative_zero · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(0, -2) 操作後 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, -3) 操作後 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = -3 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(-3, -2) 操作後 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument = 6 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(6, 2) 操作後 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = 8 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(8, -2) 操作後 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = -16 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(-16, -1) 操作後 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = -17 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [g derivative at ORIGINAL x, [-1, 2, -3], -2] 操作後 derived = [-17] 條件：無 升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。 步驟識別與依賴規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument := mul(0, -2) 操作後 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument = 0 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient := sum(0, 3) 操作後 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient = 3 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument := mul(3, -2) 操作後 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument = -6 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient := sum(-6, 2) 操作後 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient = -4 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument := mul(-4, -2) 操作後 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument = 8 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient := sum(8, 21) 操作後 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient = 29 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [f derivative at ORIGINAL x, [21, 2, 3], -2] 操作後 derived = [29] 條件：無 升冪資料由最高次開始Horner，逐次乘明示argument再加原係數，包含所有零項；不將inner值誤換為原x。 步驟識別與依賴規則：Derivative_HORNER_ALL_coefficients_AT_declared_argument · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime := sum(29, -17) 操作後 Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime = 12 條件：無 保留原操作數與次序，作精確整數計算；只對原始輸入檢查SAFE，衍生整數不再套上輸入界，且不用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [[8, 21, 1, 1], [-18, -1, 1, -1], -2, [21, 2, 3], [-1, 2, -3]] 操作後 derived = [29, -17, 12] 條件：無 和的導數逐項相加，在同一個原x代值；答案是此點的整數導數值，不是係數表或帶/1字串。 步驟識別與依賴規則：Derivative_SUM_rule_same_original_argument · 依賴：G001, S026 ## 逐步反向核對 - S027 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Derivative sum ORIGINAL fprime plus gprime，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 plus coefficient，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power0 times argument，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 plus coefficient，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power1 times argument，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 plus coefficient，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative at ORIGINAL x Horner power2 times argument，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g derivative coefficient power1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f derivative coefficient power1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 ## 結論 12 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 55f733df0d2a02df45d225ed612d48712b767c7b6d4daf2dbfde724c10a843ed - candidate record SHA-256: f232de8bfa0fc96450c6f5a90c60983fcdc4b542e94459d1ccaf679efd82eace - semantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69 - question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r05-derivative-rules-0021.json)