# 第 1329 題：多項式的零常數原函數 [返回所在分頁 7](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/7/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0029) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0001-01329 · q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0029 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[-9, 4, -1, 4]。求常數項固定零的原函數升冪有理係數，採最簡正分母。 - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[-9, 4, -1, 4]。求常數項固定零的原函數升冪有理係數，採最簡正分母。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-antiderivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-antiderivative/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 domain=R; coefficient lists are in ascending powers 操作後 constant term first; rational pairs=[numerator,denominator] 條件：無 先固定係數次序，不能把升冪清單當降冪，也不能把分子分母交換。 步驟識別與依賴規則：polynomial_representation · 依賴：G001 S002 · implies操作前 f coefficients ascending=[-9, 4, -1, 4] 操作後 seek F₀ with constant coefficient0 and F₀′=f 條件：無 原函數並不一般唯一；本題額外固定常數項為0。 步驟識別與依賴規則：canonical_primitive_domain · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 primitive coefficient at degree1 := div(-9, 1) 操作後 primitive coefficient at degree1 = -9 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 differentiate back coefficient0 := mul(-9, 1) 操作後 differentiate back coefficient0 = -9 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 primitive coefficient at degree2 := div(4, 2) 操作後 primitive coefficient at degree2 = 2 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 differentiate back coefficient1 := mul(2, 2) 操作後 differentiate back coefficient1 = 4 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 primitive coefficient at degree3 := div(-1, 3) 操作後 primitive coefficient at degree3 = -1/3 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 differentiate back coefficient2 := mul(-1/3, 3) 操作後 differentiate back coefficient2 = -1 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 primitive coefficient at degree4 := div(4, 4) 操作後 primitive coefficient at degree4 = 1 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 differentiate back coefficient3 := mul(1, 4) 操作後 differentiate back coefficient3 = 4 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 [0, -9, 2, -1/3, 1] 操作後 all derivative coefficients agree with f 條件：無 係數逐項相同證明全實數上的多項式恆等，不是只在幾個點相等。 步驟識別與依賴規則：global_polynomial_identity · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 [0, -9, 2, -1/3, 1] 操作後 reduced coefficients;integer coefficients retain /1 條件：無 輸出升冪係數清單；多餘最高次零係數去掉，但零多項式保留[0/1]。 步驟識別與依賴規則：coefficient_output_protocol · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree4，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 [0/1, -9/1, 2/1, -1/3, 1/1] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7b7b4fb304d6b3c4fb8baeb7049497362eade168a9825c8e14efeeec955bb515 - candidate record SHA-256: 566df3e22834cb114ddeb7e7d648205720ce3d4dd4a18db50b00e34fa028d157 - semantic review receipt SHA-256: c3b44ce8ed60ada6902fb206627537d5f90ba2a867eaba43a36f903280c496cc - question-first witness SHA-256: 3e91602adc7f81a2671a2a3ffaf6a447028b56abc5853e8271673d76f30cd7ad - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0029.json)