# 第 1372 題：候選原函數的係數資格 [返回所在分頁 7](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/7/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0072) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0001-01372 · q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0072 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[9, 22, -1, 2]；候選 F 的升冪有理係數為 [[8,1],[9,1],[11,1],[-1,3],[3,2]]，每對是 [分子,正分母]。是否有 F′=f 的多項式恆等？ - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[9, 22, -1, 2]；候選 F 的升冪有理係數為 [[8,1],[9,1],[11,1],[-1,3],[3,2]]，每對是 [分子,正分母]。是否有 F′=f 的多項式恆等？ ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-antiderivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-antiderivative/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 domain=R; coefficient lists are in ascending powers 操作後 constant term first; rational pairs=[numerator,denominator] 條件：無 先固定係數次序，不能把升冪清單當降冪，也不能把分子分母交換。 步驟識別與依賴規則：polynomial_representation · 依賴：G001 S002 · implies操作前 candidate F coefficients=[8, 9, 11, -1/3, 3/2] 操作後 target f coefficients=[9, 22, -1, 2] 條件：無 候選可帶任意常數；微分後常數消失。 步驟識別與依賴規則：candidate_vs_target · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 candidate derivative coefficient0 := mul(1, 9) 操作後 candidate derivative coefficient0 = 9 條件：無 每一項的次數乘係數，指數降1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 candidate derivative coefficient1 := mul(2, 11) 操作後 candidate derivative coefficient1 = 22 條件：無 每一項的次數乘係數，指數降1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 candidate derivative coefficient2 := mul(3, -1/3) 操作後 candidate derivative coefficient2 = -1 條件：無 每一項的次數乘係數，指數降1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 candidate derivative coefficient3 := mul(4, 3/2) 操作後 candidate derivative coefficient3 = 6 條件：無 每一項的次數乘係數，指數降1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 differentiate all positive-degree terms 操作後 F′ coefficients=[9, 22, -1, 6] 條件：無 若只有常數，導數清單正規化為單一零係數。 步驟識別與依賴規則：constant_derivative_zero · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 F′ witness multiply at degree3 := mul(0, 1) 操作後 F′ witness multiply at degree3 = 0 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 F′ witness add coefficient3 := sum(0, 6) 操作後 F′ witness add coefficient3 = 6 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 F′ witness multiply at degree2 := mul(6, 1) 操作後 F′ witness multiply at degree2 = 6 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 F′ witness add coefficient2 := sum(6, -1) 操作後 F′ witness add coefficient2 = 5 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 F′ witness multiply at degree1 := mul(5, 1) 操作後 F′ witness multiply at degree1 = 5 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 F′ witness add coefficient1 := sum(5, 22) 操作後 F′ witness add coefficient1 = 27 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 F′ witness multiply at degree0 := mul(27, 1) 操作後 F′ witness multiply at degree0 = 27 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 F′ witness add coefficient0 := sum(27, 9) 操作後 F′ witness add coefficient0 = 36 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 f witness multiply at degree3 := mul(0, 1) 操作後 f witness multiply at degree3 = 0 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 f witness add coefficient3 := sum(0, 2) 操作後 f witness add coefficient3 = 2 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 f witness multiply at degree2 := mul(2, 1) 操作後 f witness multiply at degree2 = 2 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 f witness add coefficient2 := sum(2, -1) 操作後 f witness add coefficient2 = 1 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 f witness multiply at degree1 := mul(1, 1) 操作後 f witness multiply at degree1 = 1 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 f witness add coefficient1 := sum(1, 22) 操作後 f witness add coefficient1 = 23 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 f witness multiply at degree0 := mul(23, 1) 操作後 f witness multiply at degree0 = 23 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 f witness add coefficient0 := sum(23, 9) 操作後 f witness add coefficient0 = 32 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 at x=1, F′(x)=36 and f(x)=32 操作後 one explicit mismatch refutes identity 條件：無 一個具體不相等的值足以否定全域恆等，不必把有限相等誤作全域證明。 步驟識別與依賴規則：nonidentity_witness · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 F′ coefficients=[9, 22, -1, 6]; f coefficients=[9, 22, -1, 2] 操作後 F′=f identically: 否 條件：無 真例依完整係數恆等，假例另有明示反例點。 步驟識別與依賴規則：primitive_candidate_verdict · 依賴：G001, S024 ## 逐步反向核對 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient0，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient2，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree2，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness add coefficient3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f witness multiply at degree3，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness add coefficient3，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F′ witness multiply at degree3，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate derivative coefficient0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 否 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 904676b91177e4911fcfe05dfaf89299b1b077024ba5ade29604f2a5b900bdc9 - candidate record SHA-256: e8cfe21d28d15afc142577c704a2242e882555a02aec9721c5d9a5366ed2fafe - semantic review receipt SHA-256: c3b44ce8ed60ada6902fb206627537d5f90ba2a867eaba43a36f903280c496cc - question-first witness SHA-256: 3e91602adc7f81a2671a2a3ffaf6a447028b56abc5853e8271673d76f30cd7ad - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0072.json)