# 第 1400 題：含實際常數的原函數值 [返回所在分頁 7](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/7/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0100) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0001-01400 · q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0100 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[12, 25, -1, 1]，F0 為零常數 canonical primitive。令 F=F0+(12)，求 F(1)，採最簡正分母分數。 - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[12, 25, -1, 1]，F0 為零常數 canonical primitive。令 F=F0+(12)，求 F(1)，採最簡正分母分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-antiderivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-antiderivative/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 domain=R; coefficient lists are in ascending powers 操作後 constant term first; rational pairs=[numerator,denominator] 條件：無 先固定係數次序，不能把升冪清單當降冪，也不能把分子分母交換。 步驟識別與依賴規則：polynomial_representation · 依賴：G001 S002 · implies操作前 f coefficients ascending=[12, 25, -1, 1] 操作後 seek F₀ with constant coefficient0 and F₀′=f 條件：無 原函數並不一般唯一；本題額外固定常數項為0。 步驟識別與依賴規則：canonical_primitive_domain · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 primitive coefficient at degree1 := div(12, 1) 操作後 primitive coefficient at degree1 = 12 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 differentiate back coefficient0 := mul(12, 1) 操作後 differentiate back coefficient0 = 12 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 primitive coefficient at degree2 := div(25, 2) 操作後 primitive coefficient at degree2 = 25/2 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 differentiate back coefficient1 := mul(25/2, 2) 操作後 differentiate back coefficient1 = 25 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 primitive coefficient at degree3 := div(-1, 3) 操作後 primitive coefficient at degree3 = -1/3 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 differentiate back coefficient2 := mul(-1/3, 3) 操作後 differentiate back coefficient2 = -1 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 primitive coefficient at degree4 := div(1, 4) 操作後 primitive coefficient at degree4 = 1/4 條件：無 由(x^(k+1))′=(k+1)x^k，係數須除以非零正整數k+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 differentiate back coefficient3 := mul(1/4, 4) 操作後 differentiate back coefficient3 = 1 條件：無 微分乘回k+1，應恢復原多項式對應係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 [0, 12, 25/2, -1/3, 1/4] 操作後 all derivative coefficients agree with f 條件：無 係數逐項相同證明全實數上的多項式恆等，不是只在幾個點相等。 步驟識別與依賴規則：global_polynomial_identity · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 constant coefficient+C := sum(0, 12) 操作後 constant coefficient+C = 12 條件：無 只改常數項，導數仍是同一f。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 F(x) multiply at degree4 := mul(0, 1) 操作後 F(x) multiply at degree4 = 0 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 F(x) add coefficient4 := sum(0, 1/4) 操作後 F(x) add coefficient4 = 1/4 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 F(x) multiply at degree3 := mul(1/4, 1) 操作後 F(x) multiply at degree3 = 1/4 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 F(x) add coefficient3 := sum(1/4, -1/3) 操作後 F(x) add coefficient3 = -1/12 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 F(x) multiply at degree2 := mul(-1/12, 1) 操作後 F(x) multiply at degree2 = -1/12 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 F(x) add coefficient2 := sum(-1/12, 25/2) 操作後 F(x) add coefficient2 = 149/12 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 F(x) multiply at degree1 := mul(149/12, 1) 操作後 F(x) multiply at degree1 = 149/12 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 F(x) add coefficient1 := sum(149/12, 12) 操作後 F(x) add coefficient1 = 293/12 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 F(x) multiply at degree0 := mul(293/12, 1) 操作後 F(x) multiply at degree0 = 293/12 條件：無 依Horner順序先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 F(x) add coefficient0 := sum(293/12, 12) 操作後 F(x) add coefficient0 = 437/12 條件：無 再加該次數的完整有理係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 x=1; additive constant=12 操作後 F(x)=437/12 條件：無 答案採最簡正分母分數，整數也保留/1。 步驟識別與依賴規則：primitive_value_format · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient2，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient3，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient4，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree4，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constant coefficient+C，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree4，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 437/12 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d6fb8c5ff1e36a8c31d256b85c8594db16ac71e05e38c8434f2f1494104ca6d6 - candidate record SHA-256: 3c1a2709f33abdcd6fb9a8e1b68770b7a9d1c6451c314cfb85acb41772a3da6e - semantic review receipt SHA-256: c3b44ce8ed60ada6902fb206627537d5f90ba2a867eaba43a36f903280c496cc - question-first witness SHA-256: 3e91602adc7f81a2671a2a3ffaf6a447028b56abc5853e8271673d76f30cd7ad - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r06-antiderivative-0100.json)