# 第 32678 題：多項式的有向矩積分 [返回所在分頁 164](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/164/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32678 · q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0053 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[-10, 3, 1, 3]。依明示多項式矩公式求從 a=-3 到 b=3 的有向積分，採最簡正分母分數。 - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[-10, 3, 1, 3]。依明示多項式矩公式求從 a=-3 到 b=3 的有向積分，採最簡正分母分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-definite-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-definite-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-integral-polynomial, polynomial_integral, reals, []] 操作後 derived = [[signed_moment_fraction_RETAIN1]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [[-10, 3, 1, 3]] 操作後 derived = [[-10, 3, 1, 3]] 條件：無 raw係數1..4升冪，全部SAFE先驗再trim尾0、零多項式留[0]；a=b或全0也不略過raw欄位。 步驟識別與依賴規則：Moment_RAW_ascending_1to4_coefficients_BEFORE_trim_ALL_validated · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient0 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient0 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient0 lower endpoint, -3, 1] 操作後 derived = [-3] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient0 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient0 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient0 upper endpoint, 3, 1] 操作後 derived = [3] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL upper power minus lower power := sub(3, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL upper power minus lower power = 6 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL coefficient times power difference := mul(-10, 6) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL coefficient times power difference = -60 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL signed moment over positive exponent := div(-60, 1) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL signed moment over positive exponent = -60 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient0, -10, 0, -3, 3] 操作後 derived = [-3, 3, 6, -60/1] 條件：無 依明示有號多項式矩c_k(b^(k+1)−a^(k+1))/(k+1)精確算。a>b合法，符號不取絕對值；這是受限矩模型，不把算術核對當一般FTC／可積性證書。 步驟識別與依賴規則：Moment_GIVEN_signed_polynomial_coefficient_moment_orientation · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient0 := sum(0, -60) 操作後 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient0 = -60 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2 := mul(-3, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2 = 9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint, -3, 2] 操作後 derived = [9] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2 := mul(3, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2 = 9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint, 3, 2] 操作後 derived = [9] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL upper power minus lower power := sub(9, 9) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL upper power minus lower power = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL coefficient times power difference := mul(3, 0) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL coefficient times power difference = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL signed moment over positive exponent := div(0, 2) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL signed moment over positive exponent = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient1, 3, 1, -3, 3] 操作後 derived = [9, 9, 0, 0/1] 條件：無 依明示有號多項式矩c_k(b^(k+1)−a^(k+1))/(k+1)精確算。a>b合法，符號不取絕對值；這是受限矩模型，不把算術核對當一般FTC／可積性證書。 步驟識別與依賴規則：Moment_GIVEN_signed_polynomial_coefficient_moment_orientation · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient1 := sum(-60, 0) 操作後 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient1 = -60 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2 := mul(-3, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2 = 9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication3 := mul(9, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication3 = -27 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint, -3, 3] 操作後 derived = [-27] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2 := mul(3, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2 = 9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication3 := mul(9, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication3 = 27 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint, 3, 3] 操作後 derived = [27] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL upper power minus lower power := sub(27, -27) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL upper power minus lower power = 54 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL coefficient times power difference := mul(1, 54) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL coefficient times power difference = 54 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL signed moment over positive exponent := div(54, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL signed moment over positive exponent = 18 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient2, 1, 2, -3, 3] 操作後 derived = [-27, 27, 54, 18/1] 條件：無 依明示有號多項式矩c_k(b^(k+1)−a^(k+1))/(k+1)精確算。a>b合法，符號不取絕對值；這是受限矩模型，不把算術核對當一般FTC／可積性證書。 步驟識別與依賴規則：Moment_GIVEN_signed_polynomial_coefficient_moment_orientation · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient2 := sum(-60, 18) 操作後 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient2 = -42 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1 = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2 := mul(-3, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2 = 9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication3 := mul(9, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication3 = -27 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication4 := mul(-27, -3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication4 = 81 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint, -3, 4] 操作後 derived = [81] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 := mul(1, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1 = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2 := mul(3, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2 = 9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication3 := mul(9, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication3 = 27 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication4 := mul(27, 3) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication4 = 81 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint, 3, 4] 操作後 derived = [81] 條件：無 明列整數冪的全部乘法，保負底數的奇偶符號；衍生值不重新當raw SAFE，也不用浮點pow。 步驟識別與依賴規則：Moment_INTEGER_power_complete_factors_NO_raw_recap · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL upper power minus lower power := sub(81, 81) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL upper power minus lower power = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL coefficient times power difference := mul(3, 0) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL coefficient times power difference = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL signed moment over positive exponent := div(0, 4) 操作後 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL signed moment over positive exponent = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 source roles = [Polynomial ORIGINAL coefficient3, 3, 3, -3, 3] 操作後 derived = [81, 81, 0, 0/1] 條件：無 依明示有號多項式矩c_k(b^(k+1)−a^(k+1))/(k+1)精確算。a>b合法，符號不取絕對值；這是受限矩模型，不把算術核對當一般FTC／可積性證書。 步驟識別與依賴規則：Moment_GIVEN_signed_polynomial_coefficient_moment_orientation · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient3 := sum(-42, 0) 操作後 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient3 = -42 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 source roles = [[-10, 3, 1, 3], -3, 3] 操作後 derived = [-42/1] 條件：無 完整逐係數矩相加，不由少數點猜多項式／積分；正負與反向端點都保留，最簡正den且保/1。 步驟識別與依賴規則：Moment_POLYNOMIAL_complete_coefficientwise_signed_sum · 依賴：G001, S050 ## 逐步反向核對 - S051 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient3，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL signed moment over positive exponent，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL coefficient times power difference，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 ORIGINAL upper power minus lower power，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication4，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication3，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication4，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication3，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient3 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient2，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL signed moment over positive exponent，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL coefficient times power difference，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 ORIGINAL upper power minus lower power，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication3，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication3，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient2 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL signed moment over positive exponent，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL coefficient times power difference，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 ORIGINAL upper power minus lower power，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint ORIGINAL power multiplication2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint ORIGINAL power multiplication2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient1 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial moment ORIGINAL sum through coefficient0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL signed moment over positive exponent，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL coefficient times power difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient0 ORIGINAL upper power minus lower power，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient0 upper endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Polynomial ORIGINAL coefficient0 lower endpoint ORIGINAL power multiplication1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 -42/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ae7140b63dd3c823dac3e06250ac89f5411b732ab2542bc28cf8b0dceb8fc067 - candidate record SHA-256: 4d1eaac9c222308f71ce204150241cbdd4fd64ebb4cc2f32a1746ed1eead0e6e - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0053.json)