# 第 32610 題：仿射式的左端有限和 [返回所在分頁 164](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/164/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-foundations/#q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0085) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0064-32610 · q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0085 ## 原題與已知條件 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-10x+(-3)，區間 [-1,4] 分為 N=10 等份。求左端有限和 ΔΣ f(a+iΔ)，i=0至N−1、Δ=(b−a)/N。 - G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-10x+(-3)，區間 [-1,4] 分為 N=10 等份。求左端有限和 ΔΣ f(a+iΔ)，i=0至N−1、Δ=(b−a)/N。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-definite-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-definite-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-integral-affine-left-sum, affine_left_sum, reals, []] 操作後 derived = [[finite_left_sum_fraction_RETAIN1]] 條件：無 legacy核來源精確欄位及operation/domain；BASE整數保metadata但不當oracle。先分NUMBER、字串、fractionpair或vector等式，不強套同一格式；原中英／AST／status不變。 步驟識別與依賴規則：R64_SOURCE_exact_legacy_interface_BASE_metadata_AND_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint := sub(4, -1) 操作後 Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint = 5 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL width over positive cell count := div(5, 10) 操作後 Left sum ORIGINAL width over positive cell count = 1/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample0 index times width := mul(0, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample0 index times width = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset := sum(-1, 0) 操作後 Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset = -1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample0 slope times x := mul(-10, -1) 操作後 Left sum ORIGINAL sample0 slope times x = 10 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c := sum(10, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c = 7 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width := mul(7, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width = 7/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term0 := sum(0, 7/2) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term0 = 7/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [0, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [-1/1, 7/1, 7/2, 7/2] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample1 index times width := mul(1, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample1 index times width = 1/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset := sum(-1, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset = -1/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample1 slope times x := mul(-10, -1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample1 slope times x = 5 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c := sum(5, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c = 2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width := mul(2, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width = 1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term1 := sum(7/2, 1) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term1 = 9/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [1, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [-1/2, 2/1, 1/1, 9/2] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample2 index times width := mul(2, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample2 index times width = 1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset := sum(-1, 1) 操作後 Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample2 slope times x := mul(-10, 0) 操作後 Left sum ORIGINAL sample2 slope times x = 0 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c := sum(0, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c = -3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width := mul(-3, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width = -3/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term2 := sum(9/2, -3/2) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term2 = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [2, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [0/1, -3/1, -3/2, 3/1] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample3 index times width := mul(3, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample3 index times width = 3/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset := sum(-1, 3/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset = 1/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample3 slope times x := mul(-10, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample3 slope times x = -5 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c := sum(-5, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c = -8 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width := mul(-8, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width = -4 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term3 := sum(3, -4) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term3 = -1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 source roles = [3, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [1/2, -8/1, -4/1, -1/1] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample4 index times width := mul(4, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample4 index times width = 2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset := sum(-1, 2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset = 1 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample4 slope times x := mul(-10, 1) 操作後 Left sum ORIGINAL sample4 slope times x = -10 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c := sum(-10, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c = -13 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width := mul(-13, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width = -13/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term4 := sum(-1, -13/2) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term4 = -15/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 source roles = [4, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [1/1, -13/1, -13/2, -15/2] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample5 index times width := mul(5, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample5 index times width = 5/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample5 lower plus offset := sum(-1, 5/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample5 lower plus offset = 3/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample5 slope times x := mul(-10, 3/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample5 slope times x = -15 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample5 affine value plus c := sum(-15, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample5 affine value plus c = -18 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample5 value times cell width := mul(-18, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample5 value times cell width = -9 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term5 := sum(-15/2, -9) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term5 = -33/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 source roles = [5, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [3/2, -18/1, -9/1, -33/2] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample6 index times width := mul(6, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample6 index times width = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample6 lower plus offset := sum(-1, 3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample6 lower plus offset = 2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample6 slope times x := mul(-10, 2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample6 slope times x = -20 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample6 affine value plus c := sum(-20, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample6 affine value plus c = -23 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample6 value times cell width := mul(-23, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample6 value times cell width = -23/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term6 := sum(-33/2, -23/2) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term6 = -28 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 source roles = [6, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [2/1, -23/1, -23/2, -28/1] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample7 index times width := mul(7, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample7 index times width = 7/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample7 lower plus offset := sum(-1, 7/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample7 lower plus offset = 5/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample7 slope times x := mul(-10, 5/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample7 slope times x = -25 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample7 affine value plus c := sum(-25, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample7 affine value plus c = -28 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample7 value times cell width := mul(-28, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample7 value times cell width = -14 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term7 := sum(-28, -14) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term7 = -42 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 source roles = [7, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [5/2, -28/1, -14/1, -42/1] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample8 index times width := mul(8, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample8 index times width = 4 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample8 lower plus offset := sum(-1, 4) 操作後 Left sum ORIGINAL sample8 lower plus offset = 3 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample8 slope times x := mul(-10, 3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample8 slope times x = -30 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample8 affine value plus c := sum(-30, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample8 affine value plus c = -33 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample8 value times cell width := mul(-33, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample8 value times cell width = -33/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term8 := sum(-42, -33/2) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term8 = -117/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 source roles = [8, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [3/1, -33/1, -33/2, -117/2] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample9 index times width := mul(9, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample9 index times width = 9/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample9 lower plus offset := sum(-1, 9/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample9 lower plus offset = 7/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample9 slope times x := mul(-10, 7/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample9 slope times x = -35 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample9 affine value plus c := sum(-35, -3) 操作後 Left sum ORIGINAL sample9 affine value plus c = -38 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL sample9 value times cell width := mul(-38, 1/2) 操作後 Left sum ORIGINAL sample9 value times cell width = -19 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Left sum ORIGINAL accumulated term9 := sum(-117/2, -19) 操作後 Left sum ORIGINAL accumulated term9 = -155/2 條件：無 保留原操作數與次序作精確整數／有理運算。RAW界依bank；衍生量不重套SAFE，不用浮點近似，不把BASE整數另加legacy界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 source roles = [9, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2] 操作後 derived = [7/2, -38/1, -19/1, -155/2] 條件：無 逐i=0..N−1取左端點a+iΔ，先求affine值再乘Δ及累加；i=N右端點不在此和。每個分數精確，零寬／常數也先驗N與所有raw。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_EVERY_fixed_LEFT_sample_value_weight_and_running_sum · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 source roles = [10, -10, -3, -1, 4] 操作後 derived = [1/2, -155/2] 條件：無 這是固定N的有限左端和，一般不等於積分；常數／零寬特例可相等，不代表任意函數可積性或N→∞證明。 步驟識別與依賴規則：LeftSum_FIXED_finite_partition_NOT_integral_or_limit_claim · 依賴：G001, S073 ## 逐步反向核對 - S074 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S073 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term9，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 value times cell width，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 slope times x，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 index times width，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term8，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 value times cell width，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 slope times x，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 index times width，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term7，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 value times cell width，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 slope times x，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 index times width，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term6，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 value times cell width，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 slope times x，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 index times width，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term5，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 value times cell width，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 slope times x，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 index times width，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term4，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 slope times x，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 index times width，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term3，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 slope times x，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 index times width，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term2，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 slope times x，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 index times width，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 slope times x，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 index times width，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 slope times x，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 index times width，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL width over positive cell count，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 -155/2 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4e507e4fb996a8ff43ad261cf9e389b29d71fd4f0d5a6b3a143e16f56d0eb9aa - candidate record SHA-256: 4c195803071de01a40ceb0363f51a5c359a576706c7a64d970caa8bc0a373ec5 - semantic review receipt SHA-256: 8b9ea3ddfab468e9e3f0a0fc0f7682987d5e030be0d7c8860fd85df19cbe183b - question-first witness SHA-256: 066bfeab8fc279706861faade71b9a18a61a25235fc48700092f0488d2a6da6a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261008-r07-definite-integral-0085.json)