# 第 10133 題：累積函數在起點的值與導數 [返回所在分頁 51](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/51/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0058) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0019-10133 · q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0058 ## 原題與已知條件 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[-5, 8, 0, 4]，a=2，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。 - G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[-5, 8, 0, 4]，a=2，G(t)=∫_a^t f(s)ds。依順序求 (G(a), G′(a))，每項以 p/q 表示。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fundamental-theorem-calculus](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fundamental-theorem-calculus/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 raw integrand f=[-5, 8, 0, 4];ascending powers on all R 操作後 normalized coefficients=[-5/1, 8/1, 0/1, 4/1];declared continuous real polynomial 條件：無 本題明示全R連續多項式，積分採有向端點。FTC關係只在這些充分前提下使用，不以有限核對宣稱新增一般FTC形式證明。 步驟識別與依賴規則：declared_FTC_continuity_hypothesis · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 zero primitive coefficient1 := div(-5, 1) 操作後 zero primitive coefficient1 = -5 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 integrand power=0;coefficient=-5/1 操作後 primitive power=1;coefficient=-5/1 條件：無 c*x^k的零常數原函數把c/(k+1)放在x^(k+1)，分母k+1正；導回即c*x^k。另加任意常數仍是原函數。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_coefficient_rule · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 zero primitive coefficient2 := div(8, 2) 操作後 zero primitive coefficient2 = 4 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 integrand power=1;coefficient=8/1 操作後 primitive power=2;coefficient=4/1 條件：無 c*x^k的零常數原函數把c/(k+1)放在x^(k+1)，分母k+1正；導回即c*x^k。另加任意常數仍是原函數。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_coefficient_rule · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 zero primitive coefficient3 := div(0, 3) 操作後 zero primitive coefficient3 = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 integrand power=2;coefficient=0/1 操作後 primitive power=3;coefficient=0/1 條件：無 c*x^k的零常數原函數把c/(k+1)放在x^(k+1)，分母k+1正；導回即c*x^k。另加任意常數仍是原函數。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_coefficient_rule · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 zero primitive coefficient4 := div(4, 4) 操作後 zero primitive coefficient4 = 1 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 integrand power=3;coefficient=4/1 操作後 primitive power=4;coefficient=1/1 條件：無 c*x^k的零常數原函數把c/(k+1)放在x^(k+1)，分母k+1正；導回即c*x^k。另加任意常數仍是原函數。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_coefficient_rule · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 original integrand coefficients=[-5/1, 8/1, 0/1, 4/1] 操作後 zero-constant primitive coefficients=[0/1, -5/1, 4/1, 0/1, 1/1] 條件：無 這是方便計算的一個原函數代表，不把常數族丟掉當成唯一原函數。 步驟識別與依賴規則：zero_constant_polynomial_primitive · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 constructed P0 derivative coefficient0 := mul(1, -5) 操作後 constructed P0 derivative coefficient0 = -5 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 constructed P0:source power=1;coefficient=-5/1 操作後 derivative power=0;coefficient=-5/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 constructed P0 derivative coefficient1 := mul(2, 4) 操作後 constructed P0 derivative coefficient1 = 8 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 constructed P0:source power=2;coefficient=4/1 操作後 derivative power=1;coefficient=8/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 constructed P0 derivative coefficient2 := mul(3, 0) 操作後 constructed P0 derivative coefficient2 = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 constructed P0:source power=3;coefficient=0/1 操作後 derivative power=2;coefficient=0/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 constructed P0 derivative coefficient3 := mul(4, 1) 操作後 constructed P0 derivative coefficient3 = 4 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 constructed P0:source power=4;coefficient=1/1 操作後 derivative power=3;coefficient=4/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 P0 derivative coefficients=[-5/1, 8/1, 0/1, 4/1];f=[-5/1, 8/1, 0/1, 4/1] 操作後 P0'=f on all R in this declared polynomial model 條件：無 完整係數身份給原函數關係，搭配明示連續前提可用FTC端點差；不是觀察有限點猜函數。 步驟識別與依賴規則：constructed_primitive_coefficient_identity · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 P0 at anchor Horner multiply4 := mul(0, 2) 操作後 P0 at anchor Horner multiply4 = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 P0 at anchor Horner add4 := sum(0, 1) 操作後 P0 at anchor Horner add4 = 1 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 P0 at anchor Horner multiply3 := mul(1, 2) 操作後 P0 at anchor Horner multiply3 = 2 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 P0 at anchor Horner add3 := sum(2, 0) 操作後 P0 at anchor Horner add3 = 2 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 P0 at anchor Horner multiply2 := mul(2, 2) 操作後 P0 at anchor Horner multiply2 = 4 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 P0 at anchor Horner add2 := sum(4, 4) 操作後 P0 at anchor Horner add2 = 8 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 P0 at anchor Horner multiply1 := mul(8, 2) 操作後 P0 at anchor Horner multiply1 = 16 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 P0 at anchor Horner add1 := sum(16, -5) 操作後 P0 at anchor Horner add1 = 11 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 P0 at anchor Horner multiply0 := mul(11, 2) 操作後 P0 at anchor Horner multiply0 = 22 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 P0 at anchor Horner add0 := sum(22, 0) 操作後 P0 at anchor Horner add0 = 22 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 anchor a=2;P0(a)=22/1 操作後 G(t)=P0(t)-(22/1);G'(t)=f(t) 條件：無 積分起點產生與t無關的常數P0(a)，微分時消去；不要把G在起點的0值當導數。 步驟識別與依賴規則：FTC_accumulation_anchor_constant · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 f at derivative point Horner multiply3 := mul(0, 2) 操作後 f at derivative point Horner multiply3 = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 f at derivative point Horner add3 := sum(0, 4) 操作後 f at derivative point Horner add3 = 4 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 f at derivative point Horner multiply2 := mul(4, 2) 操作後 f at derivative point Horner multiply2 = 8 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 f at derivative point Horner add2 := sum(8, 0) 操作後 f at derivative point Horner add2 = 8 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 f at derivative point Horner multiply1 := mul(8, 2) 操作後 f at derivative point Horner multiply1 = 16 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 f at derivative point Horner add1 := sum(16, 8) 操作後 f at derivative point Horner add1 = 24 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 f at derivative point Horner multiply0 := mul(24, 2) 操作後 f at derivative point Horner multiply0 = 48 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 f at derivative point Horner add0 := sum(48, -5) 操作後 f at derivative point Horner add0 = 43 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 anchor integral same-endpoint difference := sub(22, 22) 操作後 anchor integral same-endpoint difference = 0 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 G(a)=0/1;f(a)=43/1 操作後 ordered value-derivative pair=(0/1, 43/1) 條件：無 起終點相同給積分值0；導數另由f(a)取得，可能非零。兩欄按題目次序保留。 步驟識別與依賴規則：anchor_value_not_derivative · 依賴：G001, S039 ## 逐步反向核對 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 anchor integral same-endpoint difference，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add0，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply0，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply1，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add2，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply2，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner add3，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f at derivative point Horner multiply3，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply0，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add1，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add2，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply2，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add3，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply3，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner add4，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P0 at anchor Horner multiply4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constructed P0 derivative coefficient0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient4，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero primitive coefficient1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (0/1, 43/1) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5001d794d5140ea0f8441c939adcc39a66d22bb4cce102aa2866f7c27bfcae17 - candidate record SHA-256: 5e33fb0b3e8a899efbe97243e3ca65831b3ddcf3f43129300aabad787f3c7be5 - semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5 - question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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