# 第 10197 題：端點公式的候選原函數前提 [返回所在分頁 51](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/51/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0097) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0019-10197 · q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0097 ## 原題與已知條件 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[9, 22, -1, 2]；候選 F 的升冪有理係數為 [[9,1],[9,1],[11,1],[-1,3],[1,2]]，每對為[分子,正分母]。是否滿足 F′=f 的係數恆等，以使此候選適用FTC端點差？ - G001 — 全實數論域；連續多項式被積函數，FTC的明示充分前提。升冪係數 f=[9, 22, -1, 2]；候選 F 的升冪有理係數為 [[9,1],[9,1],[11,1],[-1,3],[1,2]]，每對為[分子,正分母]。是否滿足 F′=f 的係數恆等，以使此候選適用FTC端點差？ ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fundamental-theorem-calculus](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fundamental-theorem-calculus/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 raw integrand f=[9, 22, -1, 2];ascending powers on all R 操作後 normalized coefficients=[9/1, 22/1, -1/1, 2/1];declared continuous real polynomial 條件：無 本題明示全R連續多項式，積分採有向端點。FTC關係只在這些充分前提下使用，不以有限核對宣稱新增一般FTC形式證明。 步驟識別與依賴規則：declared_FTC_continuity_hypothesis · 依賴：G001 S002 · implies操作前 raw candidate F=[[9, 1], [9, 1], [11, 1], [-1, 3], [1, 2]] 操作後 normalized candidate coefficients=[9/1, 9/1, 11/1, -1/3, 1/2] 條件：無 每個原分母須正，先約成精確有理係數；保留原候選，不用另建的原函數覆寫它。 步驟識別與依賴規則：candidate_primitive_original_denominators · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 candidate F derivative coefficient0 := mul(1, 9) 操作後 candidate F derivative coefficient0 = 9 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 candidate F:source power=1;coefficient=9/1 操作後 derivative power=0;coefficient=9/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 candidate F derivative coefficient1 := mul(2, 11) 操作後 candidate F derivative coefficient1 = 22 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 candidate F:source power=2;coefficient=11/1 操作後 derivative power=1;coefficient=22/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 candidate F derivative coefficient2 := mul(3, -1/3) 操作後 candidate F derivative coefficient2 = -1 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 candidate F:source power=3;coefficient=-1/3 操作後 derivative power=2;coefficient=-1/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 candidate F derivative coefficient3 := mul(4, 1/2) 操作後 candidate F derivative coefficient3 = 2 條件：無 按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 candidate F:source power=4;coefficient=1/2 操作後 derivative power=3;coefficient=2/1 條件：無 次數k乘原係數並把次數降1，常數項不參與；完整保留所有非零高次項。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_coefficient_rule · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 power=0;candidate derivative coefficient=9/1;target f coefficient=9/1 操作後 coefficient equality=是 條件：無 逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。 步驟識別與依賴規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 power=1;candidate derivative coefficient=22/1;target f coefficient=22/1 操作後 coefficient equality=是 條件：無 逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。 步驟識別與依賴規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 power=2;candidate derivative coefficient=-1/1;target f coefficient=-1/1 操作後 coefficient equality=是 條件：無 逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。 步驟識別與依賴規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 power=3;candidate derivative coefficient=2/1;target f coefficient=2/1 操作後 coefficient equality=是 條件：無 逐係數比較F′與f到完整最大次數，不以一個相等點通過原函數前提。 步驟識別與依賴規則：FTC_candidate_full_derivative_identity · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 candidate derivative=[9/1, 22/1, -1/1, 2/1];integrand=[9/1, 22/1, -1/1, 2/1] 操作後 this candidate satisfies F'=f=是 條件：無 候選失敗只否定此F，不否定其他原函數；候選常數自由，係數身份才是本題端點公式的資格。 步驟識別與依賴規則：failed_primitive_candidate_not_all_primitives · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient3，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate F derivative coefficient0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 是 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e3723881fbe57b54aa503bbf22dbbf1334dfa5f0c4433363ccec3a1105e77a25 - candidate record SHA-256: 0c5f21afe895ffab58c97f7340b0f3fa71be0ef48daba155e2510a6ab1c63b6b - semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5 - question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r01-fundamental-theorem-calculus-0097.json)