# 第 35402 題：樹加入原本不存在的新邊 [返回所在分頁 178](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/178/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r02-tree-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r02-tree-0077) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0069-35402 · q-20261007-advance-20261009-r02-tree-0077 ## 原題與已知條件 有限簡單無向圖；約定樹須非空、連通且無環。原樹 V=[0, 1, 2]、E=[[1,0],[0,2]]，加入端點u=2、v=1的邊，原邊不存在。從較小的新增邊端點出發，沿原道路到另一端，再以新邊回起點，列唯一環。 - G001 — 有限簡單無向圖；約定樹須非空、連通且無環。原樹 V=[0, 1, 2]、E=[[1,0],[0,2]]，加入端點u=2、v=1的邊，原邊不存在。從較小的新增邊端點出發，沿原道路到另一端，再以新邊回起點，列唯一環。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-tree](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-tree/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-tree-added-edge-cycle, [E, V, domain, operation, u, v]] 操作後 derived = [tree_added_edge_cycle, finite_simple_undirected] 條件：無 各bank的keys/operation/domain獨立：LDL/PULSE/function legacy為表內underscore，TREE是完整tree_*與明定domain，BASE signed較寬不偷加op/domain。所有算術保持binary primitive契約。 步驟識別與依賴規則：R69_SOURCE_specific_keys_operation_domain_AND_binary_contract · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [TREE vertices ORIGINAL, 10, [0, 1, 2]] 操作後 derived = [[0, 1, 2]] 條件：無 先驗全部raw SAFE元素、不重複及此bank個數界，空集合法；只把衍生表示排序，原JSON不修改。TREE與LDL的上限不可互搬。 步驟識別與依賴規則：Finite_RAW_ALL_SAFE_distinct_labels_then_derived_sort · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 0, [1, 0]] 操作後 derived = [[1, 0]] 條件：無 去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。 步驟識別與依賴規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [TREE raw edges ORIGINAL, 1, [0, 2]] 操作後 derived = [[0, 2]] 條件：無 去重之前逐raw pair驗恰兩個SAFE分量；相同row可作表示重複，但不能先丟掉未驗欄位。 步驟識別與依賴規則：Pairs_EVERY_RAW_two_SAFE_cells_BEFORE_any_dedup · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2], [[0, 2], [1, 0]], 是] 操作後 derived = [[[0, 1], [0, 2]], [[0, [1, 2]], [1, [0]], [2, [0]]]] 條件：無 完整raw edges先型別檢查、再作無向正規化/去重，反向重複合法；輸入edge不准loop或carrier外端點，孤立頂點仍留在V。TREE raw E不借用LDL的200界。 步驟識別與依賴規則：Graph_WHOLE_simple_undirected_edges_normalized_NO_loops_or_outside · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [0, 1, 0, 1] 操作後 derived = [是] 條件：無 端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。 步驟識別與依賴規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [0, 2, 1, 2] 操作後 derived = [是] 條件：無 端點在不同已建components才合併；若已同component，這條edge閉成cycle。逐所有components的edge檢查，不只看一個連通塊。 步驟識別與依賴規則：Tree_EACH_edge_union_components_cycle_audit · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [0, [1, 2]] 操作後 derived = [[0, 1, 2], [0]] 條件：無 由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。 步驟識別與依賴規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [1, [0]] 操作後 derived = [[0, 1, 2], [0, 1]] 條件：無 由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。 步驟識別與依賴規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [2, [0]] 操作後 derived = [[0, 1, 2], [0, 1, 2]] 條件：無 由最小label逐鄰點擴展，保實際已達集合；edge數等於V−1仍不能取代連通性檢查。 步驟識別與依賴規則：Tree_CONNECTIVITY_actual_reachability_from_min_label · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [[0, 1, 2], [[0, 1], [0, 2]]] 操作後 derived = [是, 是, 是, 是] 條件：無 本條目tree明定非空+連通+無環；empty graph No，singleton無edge Yes。三角形加孤立點即使E=V−1也No。 步驟識別與依賴規則：Tree_NONEMPTY_connected_acyclic_ALL_three · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [1, 0] 操作後 derived = [[1, 0]] 條件：無 首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。 步驟識別與依賴規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [0, 2] 操作後 derived = [[1, 0, 2]] 條件：無 首次發現鄰點時保parent；label0是合法頂點，不把0當結束sentinel。 步驟識別與依賴規則：Tree_PATH_EACH_parent_discovery_keep_label0 · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [1, 2] 操作後 derived = [[1, 0, 2]] 條件：無 依parent回溯再反轉保s→t順序，每對相鄰頂點真有edge且不重複；兩條不同simple paths會形成cycle，與tree無環矛盾。s=t的零edge道路是[s]。 步驟識別與依賴規則：Tree_PATH_ORDERED_edges_verified_unique_by_acyclicity · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [2, 1, [1, 0, 2]] 操作後 derived = [[1, 0, 2, 1]] 條件：無 新edge需端點不同、原edge不存在且端點在V；由小端點沿原tree唯一道路到大端點，再新增edge回起點，最後才重複起點閉環。不可排序cycle頂點或接受已存在反向edge。 步驟識別與依賴規則：Tree_GENUINELY_NEW_edge_closes_UNIQUE_old_path_MIN_to_MAX · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S014 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S013 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S010 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S008 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S004 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S002 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 - S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原資料、型別、角色、完整前提與欄序；單向推論不倒當等價，有限表核對不冒充無限論域/形式證明。原題/英文/MKO/AST/狀態不變。 ## 結論 [1, 0, 2, 1] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 95187ee34b0968c35b1fe6d0e2f4797a3e1ba1a233a2b61d168d100fbd4494a7 - candidate record SHA-256: 48ac3fc0e72609b440271fac69a22b17e4fb7ae29ce3a587cf89ee81651f39b6 - semantic review receipt SHA-256: ccf93c72638d6abf6a412514da5838d55ecb09b71d0e4fdec2b559dc9fdee14b - question-first witness SHA-256: 11af9a338b5a610342b2cfb2ee295683131b3139ac402dd19b1ba1725976d518 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r02-tree-0077.json)