# 第 3662 題：多項式的二階點導數 [返回所在分頁 19](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/19/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-0012) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03662 · q-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-0012 ## 原題與已知條件 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-1, 3, 12, 1]，求 f″(-1)，採最簡正分母分數。 - G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-1, 3, 12, 1]，求 f″(-1)，採最簡正分母分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-derivative-rules](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative-rules/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 f ascending coefficients=[-1, 3, 12, 1] 操作後 real polynomials are differentiable;use coefficient identities 條件：無 第k個係數乘x^k；實多項式可逐項微分，常數導數0。公式恆等與只在一點比較候選是不同主張。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_premise · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 f′ coefficient at degree0 := mul(1, 3) 操作後 f′ coefficient at degree0 = 3 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 f′ coefficient at degree1 := mul(2, 12) 操作後 f′ coefficient at degree1 = 24 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 f′ coefficient at degree2 := mul(3, 1) 操作後 f′ coefficient at degree2 = 3 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 f″ coefficient at degree0 := mul(1, 24) 操作後 f″ coefficient at degree0 = 24 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 f″ coefficient at degree1 := mul(2, 3) 操作後 f″ coefficient at degree1 = 6 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 f″(x) ascending coefficients=[24, 6] 操作後 evaluate at x=-1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 f″(x) Horner multiply before degree0 := mul(6, -1) 操作後 f″(x) Horner multiply before degree0 = -6 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 f″(x) Horner add degree0 := sum(-6, 24) 操作後 f″(x) Horner add degree0 = 18 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 first coefficients=[3, 24, 3];second=[24, 6] 操作後 f″(-1)=18 條件：無 微分兩次，每次用當前次數；常數與線性式的二階導數0，不把一階導數再平方。 步驟識別與依賴規則：successive_polynomial_derivatives · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 18/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d7b28a26c3e2a687feed2ea5f615bead8bcd2f3e752daf456ffabc521f8c962b - candidate record SHA-256: 6a3a0186123ae777ce6bc2d3647803a55431f582953ae368a41dc7a3eedcbdb3 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-0012.json)