# 第 3603 題：兩個合成次序的導數 [返回所在分頁 19](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/19/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03603 · q-20261007-advance-20261009-r04-derivative-rules-0053 ## 原題與已知條件 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-10, 3, 1, 3]、g=[-3, 1, 3, 1]，x=1。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。 - G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-10, 3, 1, 3]、g=[-3, 1, 3, 1]，x=1。依序列 ((f∘g)′(x), (g∘f)′(x))，每項保留 /1 或最簡分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-derivative-rules](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative-rules/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 f ascending coefficients=[-10, 3, 1, 3] 操作後 real polynomials are differentiable;use coefficient identities 條件：無 第k個係數乘x^k；實多項式可逐項微分，常數導數0。公式恆等與只在一點比較候選是不同主張。 步驟識別與依賴規則：polynomial_derivative_premise · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 f′ coefficient at degree0 := mul(1, 3) 操作後 f′ coefficient at degree0 = 3 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 f′ coefficient at degree1 := mul(2, 1) 操作後 f′ coefficient at degree1 = 2 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 f′ coefficient at degree2 := mul(3, 3) 操作後 f′ coefficient at degree2 = 9 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 g′ coefficient at degree0 := mul(1, 1) 操作後 g′ coefficient at degree0 = 1 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 g′ coefficient at degree1 := mul(2, 3) 操作後 g′ coefficient at degree1 = 6 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 g′ coefficient at degree2 := mul(3, 1) 操作後 g′ coefficient at degree2 = 3 條件：無 用原次數乘係數，次數再降1；常數項微分為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 f(x) ascending coefficients=[-10, 3, 1, 3] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 f(x) Horner multiply before degree2 := mul(3, 1) 操作後 f(x) Horner multiply before degree2 = 3 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 f(x) Horner add degree2 := sum(3, 1) 操作後 f(x) Horner add degree2 = 4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 f(x) Horner multiply before degree1 := mul(4, 1) 操作後 f(x) Horner multiply before degree1 = 4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 f(x) Horner add degree1 := sum(4, 3) 操作後 f(x) Horner add degree1 = 7 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 f(x) Horner multiply before degree0 := mul(7, 1) 操作後 f(x) Horner multiply before degree0 = 7 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 f(x) Horner add degree0 := sum(7, -10) 操作後 f(x) Horner add degree0 = -3 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 g(x) ascending coefficients=[-3, 1, 3, 1] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 g(x) Horner multiply before degree2 := mul(1, 1) 操作後 g(x) Horner multiply before degree2 = 1 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 g(x) Horner add degree2 := sum(1, 3) 操作後 g(x) Horner add degree2 = 4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 g(x) Horner multiply before degree1 := mul(4, 1) 操作後 g(x) Horner multiply before degree1 = 4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 g(x) Horner add degree1 := sum(4, 1) 操作後 g(x) Horner add degree1 = 5 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 g(x) Horner multiply before degree0 := mul(5, 1) 操作後 g(x) Horner multiply before degree0 = 5 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 g(x) Horner add degree0 := sum(5, -3) 操作後 g(x) Horner add degree0 = 2 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 f′(x) ascending coefficients=[3, 2, 9] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 f′(x) Horner multiply before degree1 := mul(9, 1) 操作後 f′(x) Horner multiply before degree1 = 9 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 f′(x) Horner add degree1 := sum(9, 2) 操作後 f′(x) Horner add degree1 = 11 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 f′(x) Horner multiply before degree0 := mul(11, 1) 操作後 f′(x) Horner multiply before degree0 = 11 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 f′(x) Horner add degree0 := sum(11, 3) 操作後 f′(x) Horner add degree0 = 14 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 g′(x) ascending coefficients=[1, 6, 3] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 g′(x) Horner multiply before degree1 := mul(3, 1) 操作後 g′(x) Horner multiply before degree1 = 3 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 g′(x) Horner add degree1 := sum(3, 6) 操作後 g′(x) Horner add degree1 = 9 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 g′(x) Horner multiply before degree0 := mul(9, 1) 操作後 g′(x) Horner multiply before degree0 = 9 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 g′(x) Horner add degree0 := sum(9, 1) 操作後 g′(x) Horner add degree0 = 10 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 f′(g(x)) ascending coefficients=[3, 2, 9] 操作後 evaluate at x=2 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 f′(g(x)) Horner multiply before degree1 := mul(9, 2) 操作後 f′(g(x)) Horner multiply before degree1 = 18 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 f′(g(x)) Horner add degree1 := sum(18, 2) 操作後 f′(g(x)) Horner add degree1 = 20 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 f′(g(x)) Horner multiply before degree0 := mul(20, 2) 操作後 f′(g(x)) Horner multiply before degree0 = 40 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 f′(g(x)) Horner add degree0 := sum(40, 3) 操作後 f′(g(x)) Horner add degree0 = 43 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 g′(f(x)) ascending coefficients=[1, 6, 3] 操作後 evaluate at x=-3 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 g′(f(x)) Horner multiply before degree1 := mul(3, -3) 操作後 g′(f(x)) Horner multiply before degree1 = -9 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 g′(f(x)) Horner add degree1 := sum(-9, 6) 操作後 g′(f(x)) Horner add degree1 = -3 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 g′(f(x)) Horner multiply before degree0 := mul(-3, -3) 操作後 g′(f(x)) Horner multiply before degree0 = 9 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 g′(f(x)) Horner add degree0 := sum(9, 1) 操作後 g′(f(x)) Horner add degree0 = 10 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 (f∘g)′(x) := mul(43, 10) 操作後 (f∘g)′(x) = 430 條件：無 先在g(x)取外函數f的導數，再乘內函數g′(x)。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 (g∘f)′(x) := mul(10, 14) 操作後 (g∘f)′(x) = 140 條件：無 另一順序須同時交換外函數、代入位置及內導數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 inner values=(2,-3);inner derivatives=(10,14) 操作後 ordered derivative values=(430/1, 140/1) 條件：無 兩項分別是f在g之後、g在f之後，不能交換答案欄序；常數外函數導數0自然使相應合成導數0。 步驟識別與依賴規則：chain_rule_order_guard · 依賴：G001, S043 ## 逐步反向核對 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (g∘f)′(x)，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (f∘g)′(x)，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(f(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(g(x)) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner add degree2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f(x) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (430/1, 140/1) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2908514c2806d65db65d72ccb45c4892444d0f964a89ba050dcd6c1a689395d1 - candidate record SHA-256: a0c28caf102cfdf89df5fda92cf4c9e1cdac6b89e3738123b64f02044134454c - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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