# 第 3801 題：三段有向多項式矩積分 [返回所在分頁 20](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/20/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0001) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03801 · q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0001 ## 原題與已知條件 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[0]，a=0、b=1、c=2。按明示多項式矩模型求 (I(a,b), I(b,c), I(a,c))，端點不預設排序。 - G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[0]，a=0、b=1、c=2。按明示多項式矩模型求 (I(a,b), I(b,c), I(a,c))，端點不預設排序。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-definite-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-definite-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 explicit real polynomial moment or constant integrand model 操作後 oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints 條件：無 受限多項式在實數上連續可積；用逐項原函數端點差求精確有向積分，不把絕對面積或有限和當積分。 步驟識別與依賴規則：polynomial_moment_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 I(a,b) primitive coefficient1 := div(0, 1) 操作後 I(a,b) primitive coefficient1 = 0 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 [0, 0] 操作後 H′=the supplied polynomial;integrate from 0 to 1 條件：無 逐項微分回原係數確定原函數；積分常數在端點差相消。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_identity · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 I(a,b) H(b) ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 I(a,b) H(a) ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 I(a,b) oriented moment := sub(0, 0) 操作後 I(a,b) oriented moment = 0 條件：無 終點值減起點值，端點逆序時自然變號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 I(b,c) primitive coefficient1 := div(0, 1) 操作後 I(b,c) primitive coefficient1 = 0 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 [0, 0] 操作後 H′=the supplied polynomial;integrate from 1 to 2 條件：無 逐項微分回原係數確定原函數；積分常數在端點差相消。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_identity · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 I(b,c) H(b) ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=2 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 I(b,c) H(a) ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 I(b,c) oriented moment := sub(0, 0) 操作後 I(b,c) oriented moment = 0 條件：無 終點值減起點值，端點逆序時自然變號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 I(a,c) primitive coefficient1 := div(0, 1) 操作後 I(a,c) primitive coefficient1 = 0 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 [0, 0] 操作後 H′=the supplied polynomial;integrate from 0 to 2 條件：無 逐項微分回原係數確定原函數；積分常數在端點差相消。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_identity · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 I(a,c) H(b) ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=2 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 I(a,c) H(a) ascending coefficients=[0, 0] 操作後 evaluate at x=0 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 I(a,c) oriented moment := sub(0, 0) 操作後 I(a,c) oriented moment = 0 條件：無 終點值減起點值，端點逆序時自然變號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 adjacent oriented moment sum := sum(0, 0) 操作後 adjacent oriented moment sum = 0 條件：無 H(b)在兩段端點差中相消，因此不必要求a≤b≤c。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 [H(b)−H(a)]+[H(c)−H(b)] 操作後 H(c)−H(a)=0 條件：無 此代數消去對任意實端點次序成立；未把負積分改成正面積。 步驟識別與依賴規則：oriented_integral_additivity · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 adjacent oriented moment sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) oriented moment，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,c) primitive coefficient1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) oriented moment，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(b,c) primitive coefficient1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) oriented moment，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 I(a,b) primitive coefficient1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (0/1, 0/1, 0/1) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f86bb5a8148a1fdaef7e77dfda9141f197edca1783dc59122b363d847552d961 - candidate record SHA-256: 93b64a9631b5e5a981171c27fe40bd30694d604a567d719a9997f6e8f2878888 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0001.json)