# 第 3888 題：奇函數資格與對稱積分成對 [返回所在分頁 20](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/20/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0038) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03888 · q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0038 ## 原題與已知條件 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[0, 1, 13, -1]，r=3≥0。列 (f是否為奇函數, I(−r,r))，第二項採最簡分數。 - G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[0, 1, 13, -1]，r=3≥0。列 (f是否為奇函數, I(−r,r))，第二項採最簡分數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-definite-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-definite-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 explicit real polynomial moment or constant integrand model 操作後 oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints 條件：無 受限多項式在實數上連續可積；用逐項原函數端點差求精確有向積分，不把絕對面積或有限和當積分。 步驟識別與依賴規則：polynomial_moment_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 even-power coefficient degree0=0 操作後 required zero=是 條件：無 f(−x)+f(x)只保留偶次項的兩倍；多項式恆等為0當且僅當所有偶次係數0，含常數項。 步驟識別與依賴規則：odd_polynomial_even_coefficient · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 even-power coefficient degree2=13 操作後 required zero=否 條件：無 f(−x)+f(x)只保留偶次項的兩倍；多項式恆等為0當且僅當所有偶次係數0，含常數項。 步驟識別與依賴規則：odd_polynomial_even_coefficient · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 symmetric interval primitive coefficient1 := div(0, 1) 操作後 symmetric interval primitive coefficient1 = 0 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 symmetric interval primitive coefficient2 := div(1, 2) 操作後 symmetric interval primitive coefficient2 = 1/2 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 symmetric interval primitive coefficient3 := div(13, 3) 操作後 symmetric interval primitive coefficient3 = 13/3 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 symmetric interval primitive coefficient4 := div(-1, 4) 操作後 symmetric interval primitive coefficient4 = -1/4 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 [0, 0, 1/2, 13/3, -1/4] 操作後 H′=the supplied polynomial;integrate from -3 to 3 條件：無 逐項微分回原係數確定原函數；積分常數在端點差相消。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_identity · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 symmetric interval H(b) ascending coefficients=[0, 0, 1/2, 13/3, -1/4] 操作後 evaluate at x=3 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree3 := mul(-1/4, 3) 操作後 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree3 = -3/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner add degree3 := sum(-3/4, 13/3) 操作後 symmetric interval H(b) Horner add degree3 = 43/12 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree2 := mul(43/12, 3) 操作後 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree2 = 43/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner add degree2 := sum(43/4, 1/2) 操作後 symmetric interval H(b) Horner add degree2 = 45/4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree1 := mul(45/4, 3) 操作後 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree1 = 135/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner add degree1 := sum(135/4, 0) 操作後 symmetric interval H(b) Horner add degree1 = 135/4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree0 := mul(135/4, 3) 操作後 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree0 = 405/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 symmetric interval H(b) Horner add degree0 := sum(405/4, 0) 操作後 symmetric interval H(b) Horner add degree0 = 405/4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 symmetric interval H(a) ascending coefficients=[0, 0, 1/2, 13/3, -1/4] 操作後 evaluate at x=-3 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree3 := mul(-1/4, -3) 操作後 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree3 = 3/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner add degree3 := sum(3/4, 13/3) 操作後 symmetric interval H(a) Horner add degree3 = 61/12 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree2 := mul(61/12, -3) 操作後 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree2 = -61/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner add degree2 := sum(-61/4, 1/2) 操作後 symmetric interval H(a) Horner add degree2 = -59/4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-59/4, -3) 操作後 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree1 = 177/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner add degree1 := sum(177/4, 0) 操作後 symmetric interval H(a) Horner add degree1 = 177/4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree0 := mul(177/4, -3) 操作後 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree0 = -531/4 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 symmetric interval H(a) Horner add degree0 := sum(-531/4, 0) 操作後 symmetric interval H(a) Horner add degree0 = -531/4 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 symmetric interval oriented moment := sub(405/4, -531/4) 操作後 symmetric interval oriented moment = 234 條件：無 終點值減起點值，端點逆序時自然變號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 odd polynomial=否;r=3;integral=234 操作後 zero symmetric integral alone does not imply oddness 條件：無 奇函數的對稱積分0，但反向不成立：3x²−1在[−1,1]積分0卻不奇；r=0時任何多項式積分都0。 步驟識別與依賴規則：odd_integral_converse_guard · 依賴：G001, S027 ## 逐步反向核對 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval oriented moment，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner add degree2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner add degree3，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(a) Horner multiply before degree3，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner add degree2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner add degree3，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval H(b) Horner multiply before degree3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval primitive coefficient4，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval primitive coefficient3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval primitive coefficient2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 symmetric interval primitive coefficient1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (否, 234/1) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 867a211f98e61e7db018411b35fe9a179a99ab76adbf4331575750461610abb0 - candidate record SHA-256: 75b7abf4128aa49e6154286b4f5e877b19573080fb87389b228f110789e2c9ea - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0038.json)