# 第 3854 題：精確矩積分減左端有限和 [返回所在分頁 20](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/20/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0054) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03854 · q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0054 ## 原題與已知條件 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-4x+(-9)，其升冪係數=[-9, -4]；a=1、b=5，N=4等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。 - G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-4x+(-9)，其升冪係數=[-9, -4]；a=1、b=5，N=4等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-definite-integral](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-definite-integral/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 explicit real polynomial moment or constant integrand model 操作後 oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints 條件：無 受限多項式在實數上連續可積；用逐項原函數端點差求精確有向積分，不把絕對面積或有限和當積分。 步驟識別與依賴規則：polynomial_moment_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 interval width := sub(5, 1) 操作後 interval width = 4 條件：無 先求非負區間寬度，允許零寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 partition step := div(4, 4) 操作後 partition step = 1 條件：無 除以正整數N得到精確步長。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 left sample0 offset := mul(0, 1) 操作後 left sample0 offset = 0 條件：無 左端採樣用i=0,...,N−1，不含最後右端點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 left sample0 x := sum(1, 0) 操作後 left sample0 x = 1 條件：無 起點加上第i個偏移得到採樣位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 left sample0 mx := mul(-4, 1) 操作後 left sample0 mx = -4 條件：無 代入仿射函數乘法部分。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 left sample0 value := sum(-4, -9) 操作後 left sample0 value = -13 條件：無 再加常數c得到本採樣值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 left sample0 rectangle := mul(-13, 1) 操作後 left sample0 rectangle = -13 條件：無 樣本值乘步長是有符號矩形項，不取絕對值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 [1, -13, -13] 操作後 finite left-sum term index=0 條件：無 每個分割恰列一個左端項，這只是有限和資料，不冒稱已做極限證明。 步驟識別與依賴規則：left_partition_term · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 left sample1 offset := mul(1, 1) 操作後 left sample1 offset = 1 條件：無 左端採樣用i=0,...,N−1，不含最後右端點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 left sample1 x := sum(1, 1) 操作後 left sample1 x = 2 條件：無 起點加上第i個偏移得到採樣位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 left sample1 mx := mul(-4, 2) 操作後 left sample1 mx = -8 條件：無 代入仿射函數乘法部分。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 left sample1 value := sum(-8, -9) 操作後 left sample1 value = -17 條件：無 再加常數c得到本採樣值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 left sample1 rectangle := mul(-17, 1) 操作後 left sample1 rectangle = -17 條件：無 樣本值乘步長是有符號矩形項，不取絕對值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 [2, -17, -17] 操作後 finite left-sum term index=1 條件：無 每個分割恰列一個左端項，這只是有限和資料，不冒稱已做極限證明。 步驟識別與依賴規則：left_partition_term · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 left sample2 offset := mul(2, 1) 操作後 left sample2 offset = 2 條件：無 左端採樣用i=0,...,N−1，不含最後右端點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 left sample2 x := sum(1, 2) 操作後 left sample2 x = 3 條件：無 起點加上第i個偏移得到採樣位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 left sample2 mx := mul(-4, 3) 操作後 left sample2 mx = -12 條件：無 代入仿射函數乘法部分。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 left sample2 value := sum(-12, -9) 操作後 left sample2 value = -21 條件：無 再加常數c得到本採樣值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 left sample2 rectangle := mul(-21, 1) 操作後 left sample2 rectangle = -21 條件：無 樣本值乘步長是有符號矩形項，不取絕對值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 [3, -21, -21] 操作後 finite left-sum term index=2 條件：無 每個分割恰列一個左端項，這只是有限和資料，不冒稱已做極限證明。 步驟識別與依賴規則：left_partition_term · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 left sample3 offset := mul(3, 1) 操作後 left sample3 offset = 3 條件：無 左端採樣用i=0,...,N−1，不含最後右端點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 left sample3 x := sum(1, 3) 操作後 left sample3 x = 4 條件：無 起點加上第i個偏移得到採樣位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 left sample3 mx := mul(-4, 4) 操作後 left sample3 mx = -16 條件：無 代入仿射函數乘法部分。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 left sample3 value := sum(-16, -9) 操作後 left sample3 value = -25 條件：無 再加常數c得到本採樣值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 left sample3 rectangle := mul(-25, 1) 操作後 left sample3 rectangle = -25 條件：無 樣本值乘步長是有符號矩形項，不取絕對值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 [4, -25, -25] 操作後 finite left-sum term index=3 條件：無 每個分割恰列一個左端項，這只是有限和資料，不冒稱已做極限證明。 步驟識別與依賴規則：left_partition_term · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 finite left sum := sum(-13, -17, -21, -25) 操作後 finite left sum = -76 條件：無 把N項完整相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 affine integral primitive coefficient1 := div(-9, 1) 操作後 affine integral primitive coefficient1 = -9 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 affine integral primitive coefficient2 := div(-4, 2) 操作後 affine integral primitive coefficient2 = -2 條件：無 x^k的原函數係數是c/(k+1)，正整數k+1非零。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 [0, -9, -2] 操作後 H′=the supplied polynomial;integrate from 1 to 5 條件：無 逐項微分回原係數確定原函數；積分常數在端點差相消。 步驟識別與依賴規則：polynomial_primitive_identity · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 affine integral H(b) ascending coefficients=[0, -9, -2] 操作後 evaluate at x=5 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(-2, 5) 操作後 affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = -10 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(-10, -9) 操作後 affine integral H(b) Horner add degree1 = -19 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(-19, 5) 操作後 affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = -95 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(-95, 0) 操作後 affine integral H(b) Horner add degree0 = -95 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 affine integral H(a) ascending coefficients=[0, -9, -2] 操作後 evaluate at x=1 條件：無 升冪係數用Horner由最高非零項向常數項求值；略去零最高項不改函數，也不改原始係數清單。 步驟識別與依賴規則：polynomial_evaluation_order · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-2, 1) 操作後 affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = -2 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(-2, -9) 操作後 affine integral H(a) Horner add degree1 = -11 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(-11, 1) 操作後 affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = -11 條件：無 先乘同一代入點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(-11, 0) 操作後 affine integral H(a) Horner add degree0 = -11 條件：無 再加此位置的完整係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 affine integral oriented moment := sub(-95, -11) 操作後 affine integral oriented moment = -84 條件：無 終點值減起點值，端點逆序時自然變號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 integral minus left sum := sub(-84, -76) 操作後 integral minus left sum = -8 條件：無 方向固定為I−S_N；負斜率可產生負差，不是絕對誤差。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 I=-84;S_N=-76;N=4 操作後 signed finite-sum difference=-8 條件：無 這是精確有限N的差；不把一次數值符合當作一般收斂速度或任意函數的積分證明。 步驟識別與依賴規則：finite_sum_vs_integral · 依賴：G001, S043 ## 逐步反向核對 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 -8/1 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 826644ea16f2d0479fcdf4bda9007e652504f2f8ec27e2ddedd09b60d767f337 - candidate record SHA-256: 6032d3b9aa43f5e297c856f29465195491ebcaa1611d2694b36fb33555f5b564 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r06-definite-integral-0054.json)