# 第 3725 題：實二階矩陣的降冪特徵多項式 [返回所在分頁 19](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/19/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0025) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03725 · q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0025 ## 原題與已知條件 實二階方陣與精確整數資料。M=[[12,1],[1,25]]。列 det(tI−M) 的降冪係數 (t²係數, t係數, 常數)，採整數有序三元組。 - G001 — 實二階方陣與精確整數資料。M=[[12,1],[1,25]]。列 det(tI−M) 的降冪係數 (t²係數, t係數, 常數)，採整數有序三元組。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-eigenvalue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eigenvalue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[12, 1], [1, 25]] 操作後 exact real2×2 matrix;no spectrum or diagonalization inferred 條件：無 只處理宣告的實二階矩陣；係數、判別式或單一候選殘差都不自動給出完整譜或可對角化性。 步驟識別與依賴規則：two_by_two_matrix_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 trace := sum(12, 25) 操作後 trace = 37 條件：無 跡為主對角線之和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 diagonal product := mul(12, 25) 操作後 diagonal product = 300 條件：無 行列式第一項a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 off-diagonal product := mul(1, 1) 操作後 off-diagonal product = 1 條件：無 第二項為b·c，後續要減而非加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 determinant := sub(300, 1) 操作後 determinant = 299 條件：無 精確計算ad−bc。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 negative trace := mul(-1, 37) 操作後 negative trace = -37 條件：無 det(tI−M)的線性項係數是−trace，保留負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 det(tI−M)=(t−12)(t−25)−(1)(1) 操作後 t²+(-37)t+(299) 條件：無 展開二階行列式得到降冪係數(1,−trace,det)；維持欄序及線性項的負跡，不由係數逕推可對角化性。 步驟識別與依賴規則：characteristic_polynomial_expansion · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative trace，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 determinant，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 trace，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, -37, 299) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5d65ae1b311382b30f160dd76b2c49083c5af2f441d42e1943b6f8335bff0871 - candidate record SHA-256: c1fd4dcb2e2cc691e4c4e0a66c8f207b3212fbac422ef0d62a96d504243a60b4 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0025.json)