# 第 3727 題：實二階特徵多項式的精確判別式 [返回所在分頁 19](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/19/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0027) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03727 · q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0027 ## 原題與已知條件 實二階方陣與精確整數資料。M=[[3,1],[0,3]]。求特徵多項式判別式Δ的整數值，不取浮點平方根。 - G001 — 實二階方陣與精確整數資料。M=[[3,1],[0,3]]。求特徵多項式判別式Δ的整數值，不取浮點平方根。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-eigenvalue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eigenvalue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[3, 1], [0, 3]] 操作後 exact real2×2 matrix;no spectrum or diagonalization inferred 條件：無 只處理宣告的實二階矩陣；係數、判別式或單一候選殘差都不自動給出完整譜或可對角化性。 步驟識別與依賴規則：two_by_two_matrix_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 trace := sum(3, 3) 操作後 trace = 6 條件：無 跡為主對角線之和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 diagonal product := mul(3, 3) 操作後 diagonal product = 9 條件：無 行列式第一項a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 off-diagonal product := mul(1, 0) 操作後 off-diagonal product = 0 條件：無 第二項為b·c，後續要減而非加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 determinant := sub(9, 0) 操作後 determinant = 9 條件：無 精確計算ad−bc。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 negative trace := mul(-1, 6) 操作後 negative trace = -6 條件：無 det(tI−M)的線性項係數是−trace，保留負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 det(tI−M)=(t−3)(t−3)−(1)(0) 操作後 t²+(-6)t+(9) 條件：無 展開二階行列式得到降冪係數(1,−trace,det)；維持欄序及線性項的負跡，不由係數逕推可對角化性。 步驟識別與依賴規則：characteristic_polynomial_expansion · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 trace squared := square(6) 操作後 trace squared = 36 條件：無 二次式判別式使用線性係數平方，符號平方後相同。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 four times determinant := mul(4, 9) 操作後 four times determinant = 36 條件：無 完整計算4det，det可為負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 characteristic discriminant := sub(36, 36) 操作後 characteristic discriminant = 0 條件：無 Δ=trace²−4det，不取浮點平方根或虛構實根。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 characteristic discriminant，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 four times determinant，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 trace squared，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative trace，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 determinant，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 trace，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 0 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 32c070fd2d43649ff281ca7b8601e0dd13708b3cc4fa63a10fbd678269f9c6d7 - candidate record SHA-256: 33a7d7f0a32b49afa270bf915accae2ed7a545153983f19aa1e09a613f6af1a4 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0027.json)