# 第 3800 題：指定核方程的有序殘差 [返回所在分頁 19](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/19/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-foundations/#q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0075) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0006-03800 · q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0075 ## 原題與已知條件 實二階方陣與精確整數資料。M=[[25,1],[1,-22]]，λ=2，v=[1, -2]。列Mv−λv的兩個整數座標，保留順序。 - G001 — 實二階方陣與精確整數資料。M=[[25,1],[1,-22]]，λ=2，v=[1, -2]。列Mv−λv的兩個整數座標，保留順序。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-eigenvalue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eigenvalue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[25, 1], [1, -22]] 操作後 exact real2×2 matrix;no spectrum or diagonalization inferred 條件：無 只處理宣告的實二階矩陣；係數、判別式或單一候選殘差都不自動給出完整譜或可對角化性。 步驟識別與依賴規則：two_by_two_matrix_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 row1 product1 := mul(25, 1) 操作後 row1 product1 = 25 條件：無 矩陣行與向量的對應分量相乘，不把行列索引交換。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 row1 product2 := mul(1, -2) 操作後 row1 product2 = -2 條件：無 矩陣行與向量的對應分量相乘，不把行列索引交換。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Mv coordinate1 := sum(25, -2) 操作後 Mv coordinate1 = 23 條件：無 同一行的乘積相加得到Mv的一個分量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 λv coordinate1 := mul(2, 1) 操作後 λv coordinate1 = 2 條件：無 標量λ乘同一索引向量分量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 residual coordinate1 := sub(23, 2) 操作後 residual coordinate1 = 21 條件：無 逐座標取Mv−λv；零殘差才符合此方程。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 row2 product1 := mul(1, 1) 操作後 row2 product1 = 1 條件：無 矩陣行與向量的對應分量相乘，不把行列索引交換。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 row2 product2 := mul(-22, -2) 操作後 row2 product2 = 44 條件：無 矩陣行與向量的對應分量相乘，不把行列索引交換。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mv coordinate2 := sum(1, 44) 操作後 Mv coordinate2 = 45 條件：無 同一行的乘積相加得到Mv的一個分量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 λv coordinate2 := mul(2, -2) 操作後 λv coordinate2 = -4 條件：無 標量λ乘同一索引向量分量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 residual coordinate2 := sub(45, -4) 操作後 residual coordinate2 = 49 條件：無 逐座標取Mv−λv；零殘差才符合此方程。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 v=[1, -2];residual=(21, 49) 操作後 kernel equation is not an eigenvector certificate for v=0 條件：無 零向量對任意λ都有零殘差；特徵向量另外要求非零，不能從核殘差0省略此前提。 步驟識別與依賴規則：zero_vector_kernel_boundary · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual coordinate2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 λv coordinate2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv coordinate2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2 product2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2 product1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual coordinate1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 λv coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv coordinate1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row1 product2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row1 product1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (21, 49) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5f510edbcfb55520c506652792adb4993f7e1994da8d8be41a590ac192f57f90 - candidate record SHA-256: 3dd99129e3a0cc93ffa0d946f2995570ffb3706a146ea67ad9ed8a19ad2ff951 - semantic review receipt SHA-256: 568eefd71709ac3dc16a0d5b3b4ad3e83376a8ef300c9e5493eee0721500b29d - question-first witness SHA-256: d964b91bedb9d4918bbc055f567762a09f5a58af6c876268e719d5100332d855 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261007-advance-20261009-r07-eigenvalue-0075.json)