# 第 4245 題：多項式積的完整係數 [返回所在分頁 22](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/22/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0045) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04245 · q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0045 ## 原題與已知條件 升冪係數 f=[7, 20, -19, 1]、g=[2, -1, 1, 2]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。 - G001 — 升冪係數 f=[7, 20, -19, 1]、g=[2, -1, 1, 2]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 f ascending coefficients=[7, 20, -19, 1] 操作後 coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees 條件：無 係數按升冪排列，常數在索引0；完整係數運算不是由單點相等推論恆等，原始係數清單保持不變。 步驟識別與依賴規則：ascending_polynomial_identity · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 product term degrees0,0 := mul(7, 2) 操作後 product term degrees0,0 = 14 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 degrees 0+0 操作後 contribute 14 to degree0 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 product term degrees0,1 := mul(7, -1) 操作後 product term degrees0,1 = -7 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 degrees 0+1 操作後 contribute -7 to degree1 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 product term degrees0,2 := mul(7, 1) 操作後 product term degrees0,2 = 7 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 degrees 0+2 操作後 contribute 7 to degree2 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 product term degrees0,3 := mul(7, 2) 操作後 product term degrees0,3 = 14 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 degrees 0+3 操作後 contribute 14 to degree3 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 product term degrees1,0 := mul(20, 2) 操作後 product term degrees1,0 = 40 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 degrees 1+0 操作後 contribute 40 to degree1 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 product term degrees1,1 := mul(20, -1) 操作後 product term degrees1,1 = -20 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 degrees 1+1 操作後 contribute -20 to degree2 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 product term degrees1,2 := mul(20, 1) 操作後 product term degrees1,2 = 20 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 degrees 1+2 操作後 contribute 20 to degree3 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 product term degrees1,3 := mul(20, 2) 操作後 product term degrees1,3 = 40 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 degrees 1+3 操作後 contribute 40 to degree4 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 product term degrees2,0 := mul(-19, 2) 操作後 product term degrees2,0 = -38 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 degrees 2+0 操作後 contribute -38 to degree2 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 product term degrees2,1 := mul(-19, -1) 操作後 product term degrees2,1 = 19 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 degrees 2+1 操作後 contribute 19 to degree3 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 product term degrees2,2 := mul(-19, 1) 操作後 product term degrees2,2 = -19 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 degrees 2+2 操作後 contribute -19 to degree4 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 product term degrees2,3 := mul(-19, 2) 操作後 product term degrees2,3 = -38 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 degrees 2+3 操作後 contribute -38 to degree5 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 product term degrees3,0 := mul(1, 2) 操作後 product term degrees3,0 = 2 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 degrees 3+0 操作後 contribute 2 to degree3 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 product term degrees3,1 := mul(1, -1) 操作後 product term degrees3,1 = -1 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 degrees 3+1 操作後 contribute -1 to degree4 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 product term degrees3,2 := mul(1, 1) 操作後 product term degrees3,2 = 1 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 degrees 3+2 操作後 contribute 1 to degree5 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 product term degrees3,3 := mul(1, 2) 操作後 product term degrees3,3 = 2 條件：無 分配律給c_i d_j x^(i+j)，先乘係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 degrees 3+3 操作後 contribute 2 to degree6 條件：無 次數相加後歸到同次冪桶，最高保留到兩個次數的和。 步驟識別與依賴規則：polynomial_convolution_term · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 product coefficient0 := sum(14) 操作後 product coefficient0 = 14 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 product coefficient1 := sum(-7, 40) 操作後 product coefficient1 = 33 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 product coefficient2 := sum(7, -20, -38) 操作後 product coefficient2 = -51 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 product coefficient3 := sum(14, 20, 19, 2) 操作後 product coefficient3 = 55 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 product coefficient4 := sum(40, -19, -1) 操作後 product coefficient4 = 20 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 product coefficient5 := sum(-38, 1) 操作後 product coefficient5 = -37 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 product coefficient6 := sum(2) 操作後 product coefficient6 = 2 條件：無 加總所有滿足i+j=k的係數乘積，不截斷高次。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 [14, 33, -51, 55, 20, -37, 2] 操作後 canonical ascending coefficient list 條件：無 完整有限卷積給乘積多項式，三次乘三次可到六次；零因子產生[0]。 步驟識別與依賴規則：polynomial_product_coefficients · 依賴：G001, S040 ## 逐步反向核對 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient6，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient5，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient4，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient3，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient2，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient1，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient0，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,3，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,2，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,1，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,3，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,3，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,3，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 [14, 33, -51, 55, 20, -37, 2] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: af9b101ea773ab33076c551a514a11b67c693bc6f4becee6dbaeb93d7530eef2 - candidate record SHA-256: f463e1a2104f01368d3d24fab87237acf13e25313035969d714c37b86084580c - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0045.json)