# 第 4287 題：同一多項式的有序雙點值 [返回所在分頁 22](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/22/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0062) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04287 · q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0062 ## 原題與已知條件 升冪係數 f=[-1, 2, -1, 2]，a=-2、b=4。依序求 (f(a), f(b)) 的整數值。 - G001 — 升冪係數 f=[-1, 2, -1, 2]，a=-2、b=4。依序求 (f(a), f(b)) 的整數值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 f ascending coefficients=[-1, 2, -1, 2] 操作後 coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees 條件：無 係數按升冪排列，常數在索引0；完整係數運算不是由單點相等推論恆等，原始係數清單保持不變。 步驟識別與依賴規則：ascending_polynomial_identity · 依賴：G001 S002 · implies操作前 [-1, 2, -1, 2] 操作後 Horner at a=-2 條件：無 從最高非零次向常數項做Horner，不能把升冪清單直接反解為降冪。 步驟識別與依賴規則：polynomial_horner_evaluation · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 a multiply before degree2 := mul(2, -2) 操作後 a multiply before degree2 = -4 條件：無 先乘同一指定輸入。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 a add coefficient2 := sum(-4, -1) 操作後 a add coefficient2 = -5 條件：無 再加此位置的係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 a multiply before degree1 := mul(-5, -2) 操作後 a multiply before degree1 = 10 條件：無 先乘同一指定輸入。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 a add coefficient1 := sum(10, 2) 操作後 a add coefficient1 = 12 條件：無 再加此位置的係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 a multiply before degree0 := mul(12, -2) 操作後 a multiply before degree0 = -24 條件：無 先乘同一指定輸入。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 a add coefficient0 := sum(-24, -1) 操作後 a add coefficient0 = -25 條件：無 再加此位置的係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 [-1, 2, -1, 2] 操作後 Horner at b=4 條件：無 從最高非零次向常數項做Horner，不能把升冪清單直接反解為降冪。 步驟識別與依賴規則：polynomial_horner_evaluation · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 b multiply before degree2 := mul(2, 4) 操作後 b multiply before degree2 = 8 條件：無 先乘同一指定輸入。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 b add coefficient2 := sum(8, -1) 操作後 b add coefficient2 = 7 條件：無 再加此位置的係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 b multiply before degree1 := mul(7, 4) 操作後 b multiply before degree1 = 28 條件：無 先乘同一指定輸入。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 b add coefficient1 := sum(28, 2) 操作後 b add coefficient1 = 30 條件：無 再加此位置的係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 b multiply before degree0 := mul(30, 4) 操作後 b multiply before degree0 = 120 條件：無 先乘同一指定輸入。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 b add coefficient0 := sum(120, -1) 操作後 b add coefficient0 = 119 條件：無 再加此位置的係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 f(a)=-25;f(b)=119 操作後 retain a,b order;two equal values do not make f constant 條件：無 兩點值相等不代表函數為常數，例如x²在−1與1相等；本題只回報指定兩點值。 步驟識別與依賴規則：two_values_not_polynomial_identity · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b add coefficient0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b add coefficient1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b add coefficient2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b multiply before degree2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a add coefficient0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a multiply before degree0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a add coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a multiply before degree1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a add coefficient2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a multiply before degree2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-25, 119) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f0fc73bde8b5895c546576f4e4b8c8f1be7db80bbc996f6dbddebd6c095355cd - candidate record SHA-256: f0d256003ee977456a5ac8fc9c583982779c5ee7b2f96c45af77b340f52cc596 - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0062.json)