# 第 4251 題：變數平移後的完整係數 [返回所在分頁 22](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/22/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0076) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04251 · q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0076 ## 原題與已知條件 升冪係數 f=[0]，c=-2。求 f(x+c) 的完整升冪係數，不只求某點值。 - G001 — 升冪係數 f=[0]，c=-2。求 f(x+c) 的完整升冪係數，不只求某點值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 f ascending coefficients=[0] 操作後 coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees 條件：無 係數按升冪排列，常數在索引0；完整係數運算不是由單點相等推論恆等，原始係數清單保持不變。 步驟識別與依賴規則：ascending_polynomial_identity · 依賴：G001 S002 · implies操作前 term 0(x+(-2))^0 操作後 expand (0)·Σ_j C(0,j)x^j(-2)^(0−j) 條件：無 保留原項係數後做二項式展開，再按每個新次冪j合併；平移不只是改常數項。 步驟識別與依賴規則：shifted_power_binomial_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (-2)^0 操作後 shift power0,0 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 shift scaled binomial0,0 := mul(0, 1) 操作後 shift scaled binomial0,0 = 0 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 shift contribution0,0 := mul(0, 1) 操作後 shift contribution0,0 = 0 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 shift coefficient0 := sum(0) 操作後 shift coefficient0 = 0 條件：無 同次冪貢獻全部相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 [0] 操作後 canonical ascending coefficient list 條件：無 所得是完整f(x+c)係數恆等；常數或零多項式平移後不變。 步驟識別與依賴規則：polynomial_shift_coefficients · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution0,0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial0,0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 [0] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 97244fc2ff3395ca8966381a4d3cdcd2b588124ed7b3a08e6c2e24933d947b8e - candidate record SHA-256: 1d76c5ce54fe0b16d3305a5b80b6bf12a76a28eeed6c1fbc3dcba6da30ccbb13 - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0076.json)