# 第 4271 題：變數平移後的完整係數 [返回所在分頁 22](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/22/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0096) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04271 · q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0096 ## 原題與已知條件 升冪係數 f=[8, 21, -2, 1]，c=-2。求 f(x+c) 的完整升冪係數，不只求某點值。 - G001 — 升冪係數 f=[8, 21, -2, 1]，c=-2。求 f(x+c) 的完整升冪係數，不只求某點值。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 f ascending coefficients=[8, 21, -2, 1] 操作後 coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees 條件：無 係數按升冪排列，常數在索引0；完整係數運算不是由單點相等推論恆等，原始係數清單保持不變。 步驟識別與依賴規則：ascending_polynomial_identity · 依賴：G001 S002 · implies操作前 term 8(x+(-2))^0 操作後 expand (8)·Σ_j C(0,j)x^j(-2)^(0−j) 條件：無 保留原項係數後做二項式展開，再按每個新次冪j合併；平移不只是改常數項。 步驟識別與依賴規則：shifted_power_binomial_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (-2)^0 操作後 shift power0,0 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 shift scaled binomial0,0 := mul(8, 1) 操作後 shift scaled binomial0,0 = 8 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 shift contribution0,0 := mul(8, 1) 操作後 shift contribution0,0 = 8 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 term 21(x+(-2))^1 操作後 expand (21)·Σ_j C(1,j)x^j(-2)^(1−j) 條件：無 保留原項係數後做二項式展開，再按每個新次冪j合併；平移不只是改常數項。 步驟識別與依賴規則：shifted_power_binomial_identity · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 (-2)^1 操作後 shift power1,0 = -2 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 shift scaled binomial1,0 := mul(21, 1) 操作後 shift scaled binomial1,0 = 21 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 shift contribution1,0 := mul(21, -2) 操作後 shift contribution1,0 = -42 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 (-2)^0 操作後 shift power1,1 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 shift scaled binomial1,1 := mul(21, 1) 操作後 shift scaled binomial1,1 = 21 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 shift contribution1,1 := mul(21, 1) 操作後 shift contribution1,1 = 21 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 term -2(x+(-2))^2 操作後 expand (-2)·Σ_j C(2,j)x^j(-2)^(2−j) 條件：無 保留原項係數後做二項式展開，再按每個新次冪j合併；平移不只是改常數項。 步驟識別與依賴規則：shifted_power_binomial_identity · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 (-2)^2 操作後 shift power2,0 = 4 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 shift scaled binomial2,0 := mul(-2, 1) 操作後 shift scaled binomial2,0 = -2 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 shift contribution2,0 := mul(-2, 4) 操作後 shift contribution2,0 = -8 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 (-2)^1 操作後 shift power2,1 = -2 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 shift scaled binomial2,1 := mul(-2, 2) 操作後 shift scaled binomial2,1 = -4 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 shift contribution2,1 := mul(-4, -2) 操作後 shift contribution2,1 = 8 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 (-2)^0 操作後 shift power2,2 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 shift scaled binomial2,2 := mul(-2, 1) 操作後 shift scaled binomial2,2 = -2 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 shift contribution2,2 := mul(-2, 1) 操作後 shift contribution2,2 = -2 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 term 1(x+(-2))^3 操作後 expand (1)·Σ_j C(3,j)x^j(-2)^(3−j) 條件：無 保留原項係數後做二項式展開，再按每個新次冪j合併；平移不只是改常數項。 步驟識別與依賴規則：shifted_power_binomial_identity · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 (-2)^3 操作後 shift power3,0 = -8 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 shift scaled binomial3,0 := mul(1, 1) 操作後 shift scaled binomial3,0 = 1 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 shift contribution3,0 := mul(1, -8) 操作後 shift contribution3,0 = -8 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 (-2)^2 操作後 shift power3,1 = 4 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 shift scaled binomial3,1 := mul(1, 3) 操作後 shift scaled binomial3,1 = 3 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 shift contribution3,1 := mul(3, 4) 操作後 shift contribution3,1 = 12 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 (-2)^1 操作後 shift power3,2 = -2 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 shift scaled binomial3,2 := mul(1, 3) 操作後 shift scaled binomial3,2 = 3 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 shift contribution3,2 := mul(3, -2) 操作後 shift contribution3,2 = -6 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 (-2)^0 操作後 shift power3,3 = 1 條件：無 以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 shift scaled binomial3,3 := mul(1, 1) 操作後 shift scaled binomial3,3 = 1 條件：無 先乘本項係數與二項係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 shift contribution3,3 := mul(1, 1) 操作後 shift contribution3,3 = 1 條件：無 再乘c^(k−j)，作為x^j的貢獻。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 shift coefficient0 := sum(8, -42, -8, -8) 操作後 shift coefficient0 = -50 條件：無 同次冪貢獻全部相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 shift coefficient1 := sum(21, 8, 12) 操作後 shift coefficient1 = 41 條件：無 同次冪貢獻全部相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 shift coefficient2 := sum(-2, -6) 操作後 shift coefficient2 = -8 條件：無 同次冪貢獻全部相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 shift coefficient3 := sum(1) 操作後 shift coefficient3 = 1 條件：無 同次冪貢獻全部相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 [-50, 41, -8, 1] 操作後 canonical ascending coefficient list 條件：無 所得是完整f(x+c)係數恆等；常數或零多項式平移後不變。 步驟識別與依賴規則：polynomial_shift_coefficients · 依賴：G001, S039 ## 逐步反向核對 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient3，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient2，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,3，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,3，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,2，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,2，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,1，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution2,2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial2,2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution2,1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial2,1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution2,0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial2,0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution1,1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial1,1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution1,0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial1,0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution0,0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial0,0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 [-50, 41, -8, 1] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b3dc88f94e376913a6e623c139292cb684a5aafb421b046586c522fa1b0abe44 - candidate record SHA-256: 99f72f68280648eda23de94161c3ba5c7d09fce2bcf79360af8623fd14f25c6c - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r01-polynomial-0096.json)