# 第 4030 題：兩段完全平方距離的整數和 [返回所在分頁 21](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/21/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r03-distance-formula-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r03-distance-formula-0080) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04030 · q-20261008-advance-20261010-r03-distance-formula-0080 ## 原題與已知條件 同一等單位正交實平面；L2為從共同原點到每個座標向量的歐氏距離；向量依序為 [[12, 16], [5, 12]]，兩平方和均為完全平方。求兩個非負L2距離的整數和。 - G001 — 同一等單位正交實平面；L2為從共同原點到每個座標向量的歐氏距離；向量依序為 [[12, 16], [5, 12]]，兩平方和均為完全平方。求兩個非負L2距離的整數和。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-distance-formula](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-distance-formula/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 integer vectors from a common origin;orthogonal equal-length units 操作後 L2(v)≥0 and L2(v)²=v₁²+v₂² 條件：無 共同原點、正交及等單位是平方和公式的前提；向量座標可負，距離不可負。 步驟識別與依賴規則：euclidean_distance_frame · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 vector1 coordinate1 squared := square(12) 操作後 vector1 coordinate1 squared = 144 條件：無 先將此完整分量平方，保留負號在括號內。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 vector1 coordinate2 squared := square(16) 操作後 vector1 coordinate2 squared = 256 條件：無 先將此完整分量平方，保留負號在括號內。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 vector1 L2 squared := sum(144, 256) 操作後 vector1 L2 squared = 400 條件：無 兩個平方相加是距離平方，不是兩座標直接相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 vector2 coordinate1 squared := square(5) 操作後 vector2 coordinate1 squared = 25 條件：無 先將此完整分量平方，保留負號在括號內。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 vector2 coordinate2 squared := square(12) 操作後 vector2 coordinate2 squared = 144 條件：無 先將此完整分量平方，保留負號在括號內。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 vector2 L2 squared := sum(25, 144) 操作後 vector2 L2 squared = 169 條件：無 兩個平方相加是距離平方，不是兩座標直接相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 principal root1 square := square(20) 操作後 principal root1 square = 400 條件：無 核對整數主根的平方恰等原平方距離。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 root=20≥0;root²=400=L2² 操作後 L2=20 條件：無 非負且平方正確才唯一確定距離；完全平方是本題前提，不以小數開根或四捨五入代替。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_perfect_square_root · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 principal root2 square := square(13) 操作後 principal root2 square = 169 條件：無 核對整數主根的平方恰等原平方距離。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 root=13≥0;root²=169=L2² 操作後 L2=13 條件：無 非負且平方正確才唯一確定距離；完全平方是本題前提，不以小數開根或四捨五入代替。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_perfect_square_root · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 two distance sum := sum(20, 13) 操作後 two distance sum = 33 條件：無 把兩個已核對的距離相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 [20, 13] 操作後 sum=33 條件：無 這是兩個從共同原點量得的長度之和，不擅自改成兩向量端點間的直線距離。 步驟識別與依賴規則：sum_of_distances_not_endpoint_distance · 依賴：G001, S012 ## 逐步反向核對 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 two distance sum，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 principal root2 square，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 principal root1 square，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector2 L2 squared，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector2 coordinate2 squared，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector2 coordinate1 squared，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector1 L2 squared，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector1 coordinate2 squared，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector1 coordinate1 squared，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 33 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f4214ef5177fd4fac06b95a4c3a9342c49838954898a1047ccc3cc2b55d8dc69 - candidate record SHA-256: bac766c027d5d93022bdf37eaecd1eb38987325b33972ce131c00ffec5a3d96d - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r03-distance-formula-0080.json)