# 第 30083 題：交集與條件事件的概率對 [返回所在分頁 151](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/151/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r04-conditional-probability-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r04-conditional-probability-0008) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30083 · q-20261008-advance-20261010-r04-conditional-probability-0008 ## 原題與已知條件 有限歸一化模型；S={0,…,3}，F=𝒫(S)，質量=[7, 1, 2, 0]、D=10，權重為質量/D；B=[0, 1]，P(B)>0，A=[0, 2]。依序求 (P(A∩B), P(B))，各以最簡正分母分數表示。 - G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,3}，F=𝒫(S)，質量=[7, 1, 2, 0]、D=10，權重為質量/D；B=[0, 1]，P(B)>0，A=[0, 2]。依序求 (P(A∩B), P(B))，各以最簡正分母分數表示。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-conditional-probability](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-conditional-probability/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density10-conditional-masses-pair, density10_conditional_masses_pair, finite_normalized_probability] 操作後 derived = [[P_intersection, P_B]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Conditional ORIGINAL ALL numerator weights sum := sum(7, 1, 2, 0) 操作後 Conditional ORIGINAL ALL numerator weights sum = 10 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [[7, 1, 2, 0], 10] 操作後 derived = [4, [[0, 7/10], [1, 1/10], [2, 1/5], [3, 0/1]], 10] 條件：無 S=Fin(n)，完整冪集上的每個singleton質量m_i/D，m_i非負且全部和D>0。此四族已要求真law，無效law直接拒絕，不回No後重配權重。 步驟識別與依賴規則：Conditional_FULL_normalized_finite_law_not_candidate_repair · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [B, [0, 1], 4] 操作後 derived = [[0, 1]] 條件：無 原list先驗長度<=16且每項為Fin(n)合法SAFE index，再去重數值排序。重複listing不倍加mass；raw17份重複仍超來源界。 步驟識別與依賴規則：Conditional_RAW_event_bound_BEFORE_dedup_and_Fin_index_typing · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Conditional B ORIGINAL included index0 running0 := sum(0, 7) 操作後 Conditional B ORIGINAL included index0 running0 = 7 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Conditional B ORIGINAL included index1 running1 := sum(7, 1) 操作後 Conditional B ORIGINAL included index1 running1 = 8 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Conditional B, [0, 1], [7, 1, 2, 0]] 操作後 derived = [8] 條件：無 依規範化事件每個index恰取原slot一次；沒有index時空和為0，不私加均勻權重或換配對。 步驟識別與依賴規則：Conditional_COMPLETE_subset_mass_in_ORIGINAL_slots · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Conditional ORIGINAL B mass over D := div(8, 10) 操作後 Conditional ORIGINAL B mass over D = 4/5 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [[0, 1], [7, 1, 2, 0], 10] 操作後 derived = [8, 4/5, 是] 條件：無 P(B)>0等價b>0，不等於B非空；含有零權重label的非空事件仍可能不可條件化。只在已給正mass下除b。 步驟識別與依賴規則：Conditional_STRICT_positive_B_mass_not_merely_nonempty · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [A, [0, 2], 4] 操作後 derived = [[0, 2]] 條件：無 原list先驗長度<=16且每項為Fin(n)合法SAFE index，再去重數值排序。重複listing不倍加mass；raw17份重複仍超來源界。 步驟識別與依賴規則：Conditional_RAW_event_bound_BEFORE_dedup_and_Fin_index_typing · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Conditional intersection ORIGINAL included index0 running0 := sum(0, 7) 操作後 Conditional intersection ORIGINAL included index0 running0 = 7 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Conditional intersection, [0], [7, 1, 2, 0]] 操作後 derived = [7] 條件：無 依規範化事件每個index恰取原slot一次；沒有index時空和為0，不私加均勻權重或換配對。 步驟識別與依賴規則：Conditional_COMPLETE_subset_mass_in_ORIGINAL_slots · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Conditional ORIGINAL intersection mass over D := div(7, 10) 操作後 Conditional ORIGINAL intersection mass over D = 7/10 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [[0, 2], [0, 1], [0], [7, 1, 2, 0], 10] 操作後 derived = [7/10, 4/5] 條件：無 本題兩欄是P(A交B)與P(B)，各自除D；不是已做條件化的i/b，也不交換欄位。 步驟識別與依賴規則：Conditional_MASSES_pair_separate_unconditional_denominator_D · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL intersection mass over D，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional intersection ORIGINAL included index0 running0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL B mass over D，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional B ORIGINAL included index1 running1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional B ORIGINAL included index0 running0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL ALL numerator weights sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 (7/10, 4/5) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 28f6511c8bea04ee006c84228e0f8a61dfcf775d3c17e3a9c6b7f98adca1193c - candidate record SHA-256: 3e363887a59da6c8fb21494b6a094d2aa6866cc013dd40f21985d70c0271f132 - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r04-conditional-probability-0008.json)