# 第 4145 題：共模型的差期望 [返回所在分頁 21](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/21/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r05-expectation-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r05-expectation-0045) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04145 · q-20261008-advance-20261010-r05-expectation-0045 ## 原題與已知條件 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[20, 2, 1]、D=23，權重為質量/D；X值=[-19, 2, 20]、Y值=[1, -1, -19]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 E[X]−E[Y]，亦即 E[X−Y]。 - G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[20, 2, 1]、D=23，權重為質量/D；X值=[-19, 2, 20]、Y值=[1, -1, -19]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 E[X]−E[Y]，亦即 E[X−Y]。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-expectation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 total mass numerator := sum(20, 2, 1) 操作後 total mass numerator = 23 條件：無 非負整數質量要加總成D，權重才恰歸一化。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 indexed masses=[20, 2, 1];D=23 操作後 probabilities=[20/23, 2/23, 1/23] 條件：無 樣本索引從0起，質量、X與Y值按相同索引對齊；零質量結果仍保留，負隨機變數值合法。 步驟識別與依賴規則：indexed_normalized_expectation_model · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 X weighted numerator0 := mul(20, -19) 操作後 X weighted numerator0 = -380 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 X contribution0 := div(-380, 23) 操作後 X contribution0 = -380/23 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 X weighted numerator1 := mul(2, 2) 操作後 X weighted numerator1 = 4 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 X contribution1 := div(4, 23) 操作後 X contribution1 = 4/23 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 X weighted numerator2 := mul(1, 20) 操作後 X weighted numerator2 = 20 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 X contribution2 := div(20, 23) 操作後 X contribution2 = 20/23 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 X expectation := sum(-380/23, 4/23, 20/23) 操作後 X expectation = -356/23 條件：無 完整相加全部逐點期望項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Y weighted numerator0 := mul(20, 1) 操作後 Y weighted numerator0 = 20 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Y contribution0 := div(20, 23) 操作後 Y contribution0 = 20/23 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Y weighted numerator1 := mul(2, -1) 操作後 Y weighted numerator1 = -2 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Y contribution1 := div(-2, 23) 操作後 Y contribution1 = -2/23 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Y weighted numerator2 := mul(1, -19) 操作後 Y weighted numerator2 = -19 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Y contribution2 := div(-19, 23) 操作後 Y contribution2 = -19/23 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Y expectation := sum(20/23, -2/23, -19/23) 操作後 Y expectation = -1/23 條件：無 完整相加全部逐點期望項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 difference of expectations := sub(-356/23, -1/23) 操作後 difference of expectations = -355/23 條件：無 同一模型中逐點加權和相減，等於差的期望。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 E[X]=-356/23;E[Y]=-1/23 操作後 E[X]−E[Y]=E[X−Y]=-355/23 條件：無 有限和分配律給線性，完全不需要X、Y獨立。 步驟識別與依賴規則：expectation_linearity_without_independence · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 difference of expectations，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。 ## 結論 -355/23 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c4a05aa9d3c8472d5291defb5e55fe3109b6c346a4f517de77f493420fe156d8 - candidate record SHA-256: 594852c84b0f24a5412a3733a375baea2bd17c6e1e0ed1607bc014856aac5080 - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r05-expectation-0045.json)