# 第 4187 題：乘積期望與均值積的有序對 [返回所在分頁 21](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/21/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r05-expectation-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r05-expectation-0062) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0007-04187 · q-20261008-advance-20261010-r05-expectation-0062 ## 原題與已知條件 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[12, 2, 1]、D=15，權重為質量/D；X值=[-11, 2, 12]、Y值=[13, -1, 2]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。 - G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[12, 2, 1]、D=15，權重為質量/D；X值=[-11, 2, 12]、Y值=[13, -1, 2]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-expectation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 total mass numerator := sum(12, 2, 1) 操作後 total mass numerator = 15 條件：無 非負整數質量要加總成D，權重才恰歸一化。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 indexed masses=[12, 2, 1];D=15 操作後 probabilities=[4/5, 2/15, 1/15] 條件：無 樣本索引從0起，質量、X與Y值按相同索引對齊；零質量結果仍保留，負隨機變數值合法。 步驟識別與依賴規則：indexed_normalized_expectation_model · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 X weighted numerator0 := mul(12, -11) 操作後 X weighted numerator0 = -132 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 X contribution0 := div(-132, 15) 操作後 X contribution0 = -44/5 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 X weighted numerator1 := mul(2, 2) 操作後 X weighted numerator1 = 4 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 X contribution1 := div(4, 15) 操作後 X contribution1 = 4/15 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 X weighted numerator2 := mul(1, 12) 操作後 X weighted numerator2 = 12 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 X contribution2 := div(12, 15) 操作後 X contribution2 = 4/5 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 X expectation := sum(-44/5, 4/15, 4/5) 操作後 X expectation = -116/15 條件：無 完整相加全部逐點期望項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Y weighted numerator0 := mul(12, 13) 操作後 Y weighted numerator0 = 156 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Y contribution0 := div(156, 15) 操作後 Y contribution0 = 52/5 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Y weighted numerator1 := mul(2, -1) 操作後 Y weighted numerator1 = -2 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Y contribution1 := div(-2, 15) 操作後 Y contribution1 = -2/15 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Y weighted numerator2 := mul(1, 2) 操作後 Y weighted numerator2 = 2 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Y contribution2 := div(2, 15) 操作後 Y contribution2 = 2/15 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Y expectation := sum(52/5, -2/15, 2/15) 操作後 Y expectation = 52/5 條件：無 完整相加全部逐點期望項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 pointwise XY0 := mul(-11, 13) 操作後 pointwise XY0 = -143 條件：無 先在相同基本結果上相乘X_iY_i，再套原權重。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 pointwise XY1 := mul(2, -1) 操作後 pointwise XY1 = -2 條件：無 先在相同基本結果上相乘X_iY_i，再套原權重。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 pointwise XY2 := mul(12, 2) 操作後 pointwise XY2 = 24 條件：無 先在相同基本結果上相乘X_iY_i，再套原權重。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 XY weighted numerator0 := mul(12, -143) 操作後 XY weighted numerator0 = -1716 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 XY contribution0 := div(-1716, 15) 操作後 XY contribution0 = -572/5 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 XY weighted numerator1 := mul(2, -2) 操作後 XY weighted numerator1 = -4 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 XY contribution1 := div(-4, 15) 操作後 XY contribution1 = -4/15 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 XY weighted numerator2 := mul(1, 24) 操作後 XY weighted numerator2 = 24 條件：無 將此索引質量乘同索引值，不能刪掉零質量後錯位。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 XY contribution2 := div(24, 15) 操作後 XY contribution2 = 8/5 條件：無 除以共同正分母；每個零項也保留其索引位置。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 XY expectation := sum(-572/5, -4/15, 8/5) 操作後 XY expectation = -1696/15 條件：無 完整相加全部逐點期望項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 product of means := mul(-116/15, 52/5) 操作後 product of means = -6032/75 條件：無 另算兩均值的乘積，不把它直接代作乘積的期望。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 E[XY]=-1696/15;E[X]E[Y]=-6032/75 操作後 report in this order;no independence inferred 條件：無 獨立可推出此矩關係，但一個矩關係相等本身不推出一般獨立；此處只計算明示共模型的兩個數。 步驟識別與依賴規則：mixed_moment_not_independence · 依賴：G001, S027 ## 逐步反向核對 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of means，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY expectation，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution2，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator2，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY2，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。 ## 結論 (-1696/15, -6032/75) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 092ccaf4e0bb26c6c8a5b9e92373ccffea9242117becc6999719ca1f9a055700 - candidate record SHA-256: ca7131cf83afb1d6fe5a60ca13e6a70072e6d34a62e9d7156b4feaa25d7bbaac - semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485a - question-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r05-expectation-0062.json)