# 第 4584 題：二階矩與均值平方的有序對 [返回所在分頁 23](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/23/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r06-variance-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r06-variance-0034) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0008-04584 · q-20261008-advance-20261010-r06-variance-0034 ## 原題與已知條件 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[9, 2, 1]、D=12，權重為質量/D；X值=[-8, 2, 9]。依序求 (E[X²], (E[X])²)，不要混同兩式。 - G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[9, 2, 1]、D=12，權重為質量/D；X值=[-8, 2, 9]。依序求 (E[X²], (E[X])²)，不要混同兩式。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 total mass numerator := sum(9, 2, 1) 操作後 total mass numerator = 12 條件：無 所有非負質量必須和D相同，才給總機率1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 probability weight0 := div(9, 12) 操作後 probability weight0 = 3/4 條件：無 按原索引將質量除以共同正分母D。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 probability weight1 := div(2, 12) 操作後 probability weight1 = 1/6 條件：無 按原索引將質量除以共同正分母D。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 probability weight2 := div(1, 12) 操作後 probability weight2 = 1/12 條件：無 按原索引將質量除以共同正分母D。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 values=[-8, 2, 9];weights=[3/4, 1/6, 1/12] 操作後 known finite probability law,not a sampled estimate 條件：無 這是完整歸一化機率模型，變異數用其機率權重；不是n−1樣本估計，零質量結果仍保留原索引。 步驟識別與依賴規則：probability_variance_scope · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 target variable weighted value0 := mul(3/4, -8) 操作後 target variable weighted value0 = -6 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 target variable weighted value1 := mul(1/6, 2) 操作後 target variable weighted value1 = 1/3 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 target variable weighted value2 := mul(1/12, 9) 操作後 target variable weighted value2 = 3/4 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 target variable mean := sum(-6, 1/3, 3/4) 操作後 target variable mean = -59/12 條件：無 全部加權項相加求精確均值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 pointwise square0 := square(-8) 操作後 pointwise square0 = 64 條件：無 二階矩是先逐點平方再加權。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 pointwise square1 := square(2) 操作後 pointwise square1 = 4 條件：無 二階矩是先逐點平方再加權。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 pointwise square2 := square(9) 操作後 pointwise square2 = 81 條件：無 二階矩是先逐點平方再加權。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 squared variable weighted value0 := mul(3/4, 64) 操作後 squared variable weighted value0 = 48 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 squared variable weighted value1 := mul(1/6, 4) 操作後 squared variable weighted value1 = 2/3 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 squared variable weighted value2 := mul(1/12, 81) 操作後 squared variable weighted value2 = 27/4 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 squared variable mean := sum(48, 2/3, 27/4) 操作後 squared variable mean = 665/12 條件：無 全部加權項相加求精確均值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 mean squared := square(-59/12) 操作後 mean squared = 3481/144 條件：無 均值平方則先加權求均值，再平方；次序不同。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 E[X²]=665/12;(E[X])²=3481/144 操作後 Var(X)=E[X²]−(E[X])² under this finite law 條件：無 這兩個數不可混同，其差才是完整機率模型的變異數；本題依序回報兩個數，不做樣本修正。 步驟識別與依賴規則：second_moment_vs_squared_mean · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 mean squared，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable mean，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable mean，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。 ## 結論 (665/12, 3481/144) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e1a5c9e31cfaeee85a46e8ef95fa66cd1798f0637e6f6bb85b168481aa86dea6 - candidate record SHA-256: a671d4f7a4271d50a08512fe592883a4a28c32775c622c5856bc53e87f028539 - semantic review receipt SHA-256: b6e05a3e8193a93db505dbf337528fca72e2e41528b1e92b698a3f0683d74289 - question-first witness SHA-256: caa8693baf0b91acd09a20215d1aa6954ae513fc0b0814f26ac1c8c834b60d67 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r06-variance-0034.json)