# 第 4542 題：共模型差變數的概率變異數 [返回所在分頁 23](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/23/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261010-r06-variance-foundations/#q-20261008-advance-20261010-r06-variance-0067) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0008-04542 · q-20261008-advance-20261010-r06-variance-0067 ## 原題與已知條件 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[17, 2, 1]、D=20，權重為質量/D；X值=[-16, 2, 17]、Y值=[1, -1, -16]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 Var(X−Y)，不要拆作Var(X)+Var(Y)。 - G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[17, 2, 1]、D=20，權重為質量/D；X值=[-16, 2, 17]、Y值=[1, -1, -16]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 Var(X−Y)，不要拆作Var(X)+Var(Y)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 total mass numerator := sum(17, 2, 1) 操作後 total mass numerator = 20 條件：無 所有非負質量必須和D相同，才給總機率1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 probability weight0 := div(17, 20) 操作後 probability weight0 = 17/20 條件：無 按原索引將質量除以共同正分母D。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 probability weight1 := div(2, 20) 操作後 probability weight1 = 1/10 條件：無 按原索引將質量除以共同正分母D。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 probability weight2 := div(1, 20) 操作後 probability weight2 = 1/20 條件：無 按原索引將質量除以共同正分母D。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 values=[-16, 2, 17];weights=[17/20, 1/10, 1/20] 操作後 known finite probability law,not a sampled estimate 條件：無 這是完整歸一化機率模型，變異數用其機率權重；不是n−1樣本估計，零質量結果仍保留原索引。 步驟識別與依賴規則：probability_variance_scope · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 pointwise difference0 := sub(-16, 1) 操作後 pointwise difference0 = -17 條件：無 先在共同基本結果上取X_i−Y_i，不把兩個模型重新配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 pointwise difference1 := sub(2, -1) 操作後 pointwise difference1 = 3 條件：無 先在共同基本結果上取X_i−Y_i，不把兩個模型重新配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 pointwise difference2 := sub(17, -16) 操作後 pointwise difference2 = 33 條件：無 先在共同基本結果上取X_i−Y_i，不把兩個模型重新配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 [-17, 3, 33] 操作後 compute the variance of this shared-model difference 條件：無 相依情況不能直接寫Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)；先形成差變數，再依原權重計算。 步驟識別與依賴規則：difference_variance_not_sum · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 target variable weighted value0 := mul(17/20, -17) 操作後 target variable weighted value0 = -289/20 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 target variable weighted value1 := mul(1/10, 3) 操作後 target variable weighted value1 = 3/10 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 target variable weighted value2 := mul(1/20, 33) 操作後 target variable weighted value2 = 33/20 條件：無 同索引機率乘同索引值，負值及零權重均精確保留。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 target variable mean := sum(-289/20, 3/10, 33/20) 操作後 target variable mean = -25/2 條件：無 全部加權項相加求精確均值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 centered difference0 := sub(-17, -25/2) 操作後 centered difference0 = -9/2 條件：無 先減去此變數自己的精確均值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 centered square0 := square(-9/2) 操作後 centered square0 = 81/4 條件：無 平方偏差必非負，不把負偏差直接當作變異項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 centered contribution0 := mul(17/20, 81/4) 操作後 centered contribution0 = 1377/80 條件：無 乘同索引機率；零權重即使有大偏差仍貢獻0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 centered difference1 := sub(3, -25/2) 操作後 centered difference1 = 31/2 條件：無 先減去此變數自己的精確均值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 centered square1 := square(31/2) 操作後 centered square1 = 961/4 條件：無 平方偏差必非負，不把負偏差直接當作變異項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 centered contribution1 := mul(1/10, 961/4) 操作後 centered contribution1 = 961/40 條件：無 乘同索引機率；零權重即使有大偏差仍貢獻0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 centered difference2 := sub(33, -25/2) 操作後 centered difference2 = 91/2 條件：無 先減去此變數自己的精確均值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 centered square2 := square(91/2) 操作後 centered square2 = 8281/4 條件：無 平方偏差必非負，不把負偏差直接當作變異項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 centered contribution2 := mul(1/20, 8281/4) 操作後 centered contribution2 = 8281/80 條件：無 乘同索引機率；零權重即使有大偏差仍貢獻0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 [1377/80, 961/40, 8281/80] 操作後 all indexed centered-square contributions retained 條件：無 每個基本結果都列出一項且不省零項；這些是完整機率量，不是樣本估計。 步驟識別與依賴規則：complete_centered_variance_terms · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 variance of the difference := sum(1377/80, 961/40, 8281/80) 操作後 variance of the difference = 579/4 條件：無 完整加總差變數的所有中心平方項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance of the difference，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference2，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable mean，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。 ## 結論 579/4 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bd5e0c879980a22ca4c0bc9cd171e49e7d3fdc1b26b59093646dc04a48cfd03b - candidate record SHA-256: acfc17aa1d0ed1cfa76b245c584fa69fbae29895785fcb3179af0ac4f097febd - semantic review receipt SHA-256: b6e05a3e8193a93db505dbf337528fca72e2e41528b1e92b698a3f0683d74289 - question-first witness SHA-256: caa8693baf0b91acd09a20215d1aa6954ae513fc0b0814f26ac1c8c834b60d67 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261010-r06-variance-0067.json)